Springen naar inhoud

Paradoxale verzamelingen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 juli 2009 - 09:45

Zoals bekend kun je onderscheid maken tussen een verzameling en een element van die verzameling (ook als de verzameling zelf maar uit één element bestaat).

Bijvoorbeeld: A = {37} en B = {A} (dus A is een verzameling die het getal 37 bevat, en B is een verzameling die als enige element de verzameling A bevat).

Dan geldt A ;) B

Nu kun je ook verzamelingen maken die zichzelf bevatten, bijvoorbeeld: C = {C}

Stel nu dat we definiëren A = C, en dat nog steeds geldt B = {A}.
Geldt dan ook nog steeds A :P B ?

Nog vager, ik definieer twee verzameling die uitsluitend zichzelf bevatten:

P = {P} en Q = {Q}

Geldt nu P = Q ?
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 16 juli 2009 - 10:38

Axioma: Er bestaat geen verzameling LaTeX zó dat LaTeX .

#3

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 juli 2009 - 13:00

Is dat een "algemeen geldend" axioma, of is dat één of ander keuze-axioma?

En kan een verzameling wel zichzelf bevatten? (samen met nog andere elementen)
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#4

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 16 juli 2009 - 13:43

Een verzameling die een zuiver deel of een element is van zichzelf is een paradox (tegenstrijdigheid?).
Geloof je dat er een verzameling LaTeX bestaat met de eigenschap LaTeX , dan zul je je voor de problemen die door deze paradox worden gecreëerd moeten verantwoorden. Je belandt in een wespennest waaruit je je slechts met moeite staande weet te houden.
Met de bestaande axioma's is niet aan te tonen (tot nu toe) dat er geen LaTeX bestaat met de eigenschap LaTeX . Vermoedelijk is dat ook niet mogelijk. Aannemen als axioma is dan de beste keuze. Niet aannemen levert alleen problemen op en brengt ons niets.

Nederlands is Nederlands.
Vijflettergrepig is vijflettergrepig.
Woorden die zichzelf zijn (zoals in deze 2 voorbeelden) heten synectisch.

Frans is niet Frans.
Dit soort woorden heten antisynectisch.

Is antisynectisch antisynectisch?
Is antisynectisch synectisch?

#5

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 16 juli 2009 - 15:37

Er bestaat wel een tak van de verzamelingenleer die zich hiermee bezig houdt. Zie hier:

http://en.wikipedia....nded_set_theory

Wellicht leuk om dat te weten. Ik heb mij daar echter niet genoeg in verdiept, om een oordeel over de zin of onzin daarvan te kunnen geven.

#6

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 juli 2009 - 16:03

Is antisynectisch antisynectisch?
Is antisynectisch synectisch?

Ik ken dat voorbeeld als autoloog / heteroloog ("zichzelf omschrijvend" vs "iets anders omschrijvend"). Toevallig ook Gödel, Escher, Bach gelezen?
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#7

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 16 juli 2009 - 16:56

Zeker.
De oorspronkelijke naamgeving had ik niet onthouden. Ik heb er maar zelf een naam aan gegeven ;)
Synectisch = complex differentieerbaar.

#8

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 16 juli 2009 - 17:37

http://en.wikipedia....nded_set_theory


Geen hypersets maar Unmengen.

#9

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 juli 2009 - 18:48

Zeer boeiend boek was dat, ik zal 'em eens bij de aanraders posten.


On topic, dit was niet per se een paradox of zelfs tegenspraak: (doch mogelijk wel onbepaald)

Nog vager, ik definieer twee verzameling die uitsluitend zichzelf bevatten:

P = {P} en Q = {Q}

Geldt nu P = Q ?

Dus stel dat we niet (door het aannemen van een axioma) uitsluiten dat verzamelingen zichzelf mogen bevatten, zou er nu een zinnige reden zijn om te stellen dat P=Q of P ;) Q ?
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#10

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 16 juli 2009 - 19:16

Geen hypersets maar Unmengen.


Begrijp ik je goed dat we zulke "oneigenlijke verzamelingen" als klassen moeten aanduiden?

#11

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 16 juli 2009 - 19:52

On topic, dit was niet per se een paradox of zelfs tegenspraak: (doch mogelijk wel onbepaald)

Wel een paradox en een taalgrapje.

Dus stel dat we niet (door het aannemen van een axioma) uitsluiten dat verzamelingen zichzelf mogen bevatten, zou er nu een zinnige reden zijn om te stellen dat P=Q of P ;) Q ?


P is b.v. de 'verzameling' van verzamelingen die meer dan 2 element bevatten.
Q is b.v. de 'verzameling' van verzamelingen die meer dan 1 element bevatten.

Begrijp ik je goed dat we zulke "oneigenlijke verzamelingen" als klassen moeten aanduiden?

Ja. (Het vaak internationaal gebruikte woord "Unmenge" vind ik mooier klinken).

Veranderd door PeterPan, 16 juli 2009 - 19:53


#12

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 24 juli 2009 - 02:43

[quote name='PeterPan' post='534068' date='16 July 2009, 11:38']Axioma: Er bestaat geen verzameling LaTeX mogelijk zou zijn, dus het ligt voor de hand een axioma in te voeren dat zegt LaTeX . Maar dit is niet afdoende, want nu is het mogelijk dat er verschillende verzamelingen A en B zijn zodat LaTeX . Dit is nog steeds tegenintuďtief (probeer maar eens een voorbeeld van zulke A en B te vinden ;)). Dit voorkomen is nog steeds niet afdoende, want het sluit het bestaan niet uit van verschillende A,B en C zodat LaTeX , en ga zo maar door. Het axioma of regularity, door Zermelo genoemd Axiom der Fundierung, stelt daarom:

LaTeX

Intuďtief: iedere niet-lege verzameling A bevat een element x die disjunct is met A. In het bijzonder bestaat er dus geen A zodat A={A}.

We kunnen nu datgene dat we als eerste wilden uitsluiten als stelling bewijzen:

Stelling: LaTeX
Bewijs: Triviaal als A leeg is, dus stel A niet-leeg en neem aan dat LaTeX . Aangezien LaTeX , geldt dan ook LaTeX (*). Volgens het axioma is er een LaTeX zodat LaTeX . Maar aangezien LaTeX een singleton is, moet LaTeX . Conclusie: LaTeX , in tegenspraak met (*).
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#13

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 24 juli 2009 - 15:01

Het regulariteitsaxioma:

LaTeX

kun je ook zó lezen: Elke verzameling heeft een kleinste element ("in LaTeX - zin").

Maar dat is niets anders dan zeggen dat de klasse van verzamelingen welgeordend is.
Dus (uniciteit, op isomorfie na (zie "cursus")) kunnen we de de klasse van verzamelingen als volgt construeren (transfinite definitie).
LaTeX
LaTeX , (LaTeX een ordinaal, P staat voor de machtsverzameling).
LaTeX als LaTeX een limietordinaal is.

Een constructieve manier om alle verzamelingen (qua grootte) te vinden.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures