Vergelijking
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
-
- Berichten: 4.246
Re: Vergelijking
En dan?Links en rechts tot de macht 3x5 brengen.
Quitters never win and winners never quit.
-
- Berichten: 4.246
- Berichten: 7.556
Re: Vergelijking
x=0 is in ieder geval een oplossing
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -
- Niels Bohr -
Re: Vergelijking
Er zijn meer wegen naar Rome.
Bijvoorbeeld.
Zeg
Dan is
ofwel
Van elkaar aftrekken geeft:
Nu is
dus als
Dus is
Deze vergelijking is simpel op te lossen en geeft de oplossingen enz.
Bijvoorbeeld.
Zeg
\(y = \sqrt[5]{x^3 + 2x} = \sqrt[3]{x^5 - 2x}\)
.Dan is
\(y^5 = x^3 + 2x\)
en \(y^3 = x^5 - 2x\)
,ofwel
\(y^5 - x^3 = 2x\)
en \(x^5 - y^3 = 2x\)
,Van elkaar aftrekken geeft:
\(y^5 + y^3 = x^5 + x^3\)
.Nu is
\(f: x \mapsto x^5 + x^3\)
strikt stijgend (want \(f'(x) = x^2(5x^2 + 3)\)
),dus als
\(y^5 + y^3 = x^5 + x^3\)
, dan is \(y=x\)
.Dus is
\(\sqrt[5]{x^3 + 2x} = x\)
.Deze vergelijking is simpel op te lossen en geeft de oplossingen enz.
Re: Vergelijking
Na
Als
Het is dus voldoende de niet negatieve nulpunten te vinden. Stel dus
Ontbinden geeft:
\(y^5 + y^3 = x^5 + x^3\)
kun je ook als volgt redeneren:Als
\(u\)
een nulpunt is, dan is \(-u\)
ook een nulpunt.Het is dus voldoende de niet negatieve nulpunten te vinden. Stel dus
\(x\ge 0\)
. Dan is ook \(y\ge 0\)
.\((y^5 - x^5) + (y^3 - x^3) = 0\)
.Ontbinden geeft:
\((y-x)((y^4+xy^3+x^2y^2+x^3y+x^3)+(x^2+xy+y^2))=0\)
, dus \(x=y\)
.-
- Berichten: 8.614
Re: Vergelijking
Mooie vraag en mooie oplossing. Ik was zelf niet verder gekomen dan x=0.
Om het helemaal af te maken, werk ik dit vergelijkinkje even verder uit. Beide leden tot de vijfde macht verheffen:PeterPan schreef:Dus is\(\sqrt[5]{x^3 + 2x} = x\).
Deze vergelijking is simpel op te lossen en geeft de oplossingen enz.
\(x^3+2x = x^5 \Leftrightarrow x(x^4-x^2-2) = 0\)
De factor x voorop geeft de oplossing x=0. Voor de bikwadratische vergelijking, stel \(y = x^2\)
:\(y^2 - y - 2 = 0 \Leftrightarrow y=-1 \vee y=2 \Leftrightarrow x^2 = 2 \Leftrightarrow x=\pm\sqrt{2}\)
\(V = \{-\sqrt{2},\ 0,\ \sqrt{2}\}\)
Geloof niet alles wat je leest.
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
Re: Vergelijking
Als
Stel dus
Zeg
Dan is
Dus er is hoogstens 1 positief nulpunt, en met een beetje proberen vind je het nulpunt
\(0<x<\sqrt[4]{2}\)
, dan is het rechter lid negatief en het linker positief.Stel dus
\(x\ge\sqrt[4]{2}\)
.Zeg
\(f(x) = \sqrt[5]{x^3 + 2x} - \sqrt[3]{x^5 - 2x}\)
.Dan is
\(f'(x) = \frac{3x^2+2}{5\sqrt[5]{(x^3+2x)^4}} - \frac{5x^4-2}{3\sqrt[3]{(x^5-2x)^2}} < \frac{3x^2+2x^2}{5\sqrt[5]{(x^2)^4}}-\frac{5x^4-x^4}{3\sqrt[3]{(x^5)^2}} < 1-\frac43 < 0\)
.Dus er is hoogstens 1 positief nulpunt, en met een beetje proberen vind je het nulpunt
\(\sqrt{2}\)
.- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Vergelijking
Het blijkt dat -√2 eveneens aan de verg voldoet.
- Berichten: 7.556
Re: Vergelijking
Dat is toch al opgemerkt?Het blijkt dat -√2 eveneens aan de verg voldoet.
Als\(u\).
\\edit: PeterPan was me voor.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -
- Niels Bohr -