Bungeejump door het midden van de aarde?

physicalattraction

Metafysische berichten en reacties hierop zijn verwijderd. Ook al gaat het hier om een gedachte-experiment, ik uit hierbij het dringende verzoek om het wetenschappelijk te houden!

Arie Bombarie

Er is uiteraard al het nodige correcte over de vraag van TS gezegd, maar omdat ik me verveelde heb ik het maar even volledig uitgewerkt voor de geïnteresseerde passant

.

Met de aanname dat de aarde een bol is met constante dichtheid, volgt uit Gauss' law for gravity het volgende (zie voor meer informatie deze Wikipedia pagina):

\(g(r)=\frac{4\pi }{3}G\rho r\)

Met:

g = gravitational acceleration die wordt ondervonden door de bungeejumper (circa 9.8 ms^-2 op het aardoppervlak)

G = gravitational constant (ongeveer 6.674e-11 m³kg^-1s^-2)

ρ = de gemiddelde dichtheid van de bol / aarde (zo'n 5515 kgm^-3)

r = de afstand van het middelpunt van de aarde tot het punt van interesse (de bungeejumper)

We kunnen dus schrijven:

\(a(t)=\frac{4\pi }{3}G\rho r(t)\)

Waarin a de versnelling van de bungeejumper is t.o.v. de aarde.

Voor de versnelling geldt in het algemeen:

\(a(t)=\frac{d^{2}x(t)}{dt^{2}}\)

: Bungee.png (4.2 KiB) 218 keer bekeken

Dus kunnen we nu ook schrijven:

\(\frac{d^{2}x(t)}{dt^{2}}=\frac{4\pi }{3}G\rho r(t)\)

Het is verstandig om voor de vervolgberekening een nieuwe term te introduceren:

\(\alpha =\frac{4\pi }{3}G\rho\)

Omdat r de afstand van het middelpunt van de aarde tot de bungeejumper is, kunnen we schrijven:

\(r(t)=r_{0}-x(t)=6371\cdot 10^{3}-x(t)\)

.

Te zien is dat de acceleratie negatief zal zijn voor x>6371km. Dat klopt, omdat in dit geval de bungeejumper zal worden afgeremd door de zwaartekracht van de aarde.

Deze differentiaalvergelijking is op meerdere manieren op te lossen, één manier is m.b.v. Laplacetransformaties. Met de initiële condities: x(0) = x'(0) = 0 (we beginnen de val vanuit stilstand, m.a.w. op t = 0 hebben we nog geen afstand afgelegd en hebben we nog geen snelheid t.o.v. de aarde), wordt verkregen:

\(X(s)=\frac{6371\alpha }{s(s^{2}+\alpha )}\)

Gebruikmakend van "partial fraction expansion" kunnen we dit schrijven als:

\(X(s)=\frac{r_{0}}{s}-\frac{r_{0}s}{s^{2}+\alpha }\)

Aan de hand van eerder gegeven Laplacetabel verkrijgen we uiteindelijk:

\(x(t)=r_{0}(1-cos(\sqrt{\alpha}t))=r_{0}(1-cos\left (\sqrt{\frac{4\pi }{3}G\rho}\cdot t \right )\)

Nemen we de afgeleide naar de tijd, dan verkrijgen we de snelheid van de bungeejumper als functie van de tijd:

\(x'(t)=v(t)=r_{0}\cdot\sqrt{\frac{4\pi }{3}G\rho} \cdot sin\left (\sqrt{\frac{4\pi }{3}G\rho}\cdot t \right )\)

En opnieuw, voor de acceleratie van de bungeejumper:

\(x''(t)=v'(t)=a(t)=r_{0}\cdot\frac{4\pi }{3}G\rho \cdot cos\left (\sqrt{\frac{4\pi }{3}G\rho} \cdot t\right )\)

De verkregen functies kunnen nu, na het invullen van de verschillende waarden, geplot worden:

: Bungeejump.png (338.95 KiB) 218 keer bekeken

Een retourtje naar de andere kant van de wereld duurt op deze manier dus nog geen anderhalf uur

.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Bungeejump door het midden van de aarde?

Re: Bungeejump door het midden van de aarde?

Re: Bungeejump door het midden van de aarde?