Beste forumgenoten,
Al een tijdje ben ik me aan het stukbijten op een bepaling van de divergentie van een vectorveld op twee verschillende manieren (om een beter begrip te krijgen van divergentie). De manieren die ik wil onderzoeken (en op hetzelfde antwoord uit wil komen zijn):
1. Bepaling divergentie via Christoffelsymbolen
2. Bepaling divergentie op klassieke wijze (carthesische coordinaten)
Nu heb ik als vectorveld genomen:
\(\usepackage{}\mathbf{v} = 3\mathbf{c}_{r} - \mathbf{c}_{\varphi} + 2\mathbf{c}_{\varsigma}\)
waarbij helicoidale coordinaten worden bekeken:
\(\mathbf{x}(r,\varphi,\varsigma) = (2rcos(\varphi), 3rsin(\varphi), \varphi + \varsigma)\)
zodat:
\(\mathbf{c}_{r} = \partial _{r} \mathbf{x} = (2cos(\varphi), 3sin(\varphi), 0)\)
\(\mathbf{c}_{\varphi} = (-2rsin(\varphi), 3rcos(\varphi), 1)\)
\(\mathbf{c}_{\varsigma} = (0,0,1)\)
Hieruit vloeit voort dat de Christoffelsymbolen als volgt zijn (overige symbolen nul):
\(\Gamma_{\varphi r}^{\varphi} = \Gamma_{r \varphi}^{\varphi} = \frac{1}{r} \)
\(\Gamma_{\varphi r}^{\varsigma} = \Gamma_{r \varphi}^{\varsigma} = -\frac{1}{r} \)
\(\Gamma_{\varphi \varphi}^{r} = -r \)
1. Geschreven kan worden:
\( div \mathbf{v} = \nabla _{\alpha}v^{\alpha} = v_{;\alpha}^{\alpha} =v_{;r}^{r} + v_{;\varphi}^{\varphi}+ v_{;\varsigma}^{\varsigma}\)
waarbij bijvoorbeeld
\( v_{;r}^{r} = \partial_{r}v^{r} + \Gamma_{r \beta}^{r}v^{\beta} \)
(auto-summation over
\( \beta \)
)
Dit kort uitwerken levert:
\( div \mathbf{v} = \frac{3}{r} \)
Echter vermoed ik hier dat er een fout zit aangezien ik voor de componenten van de vector (
\( v^{\alpha} \)
) de volgende waarden heb gepakt:
\( v^{r} = 3 \)
\( v^{\varphi} = -1 \)
\( v^{\varsigma} = 2 \)
De componenten van de vector zouden moeten volgen uit:
\( \mathbf{v} = v^{\alpha} \partial_{\alpha} \)
, alleen zie ik niet precies hoe dit gaat... Dit is waarschijnlijk een fout die ik maak (?).
2. Via carthesische coordinaten:
\(\mathbf{v} = 3\mathbf{c}_{r} - \mathbf{c}_{\varphi} + 2\mathbf{c}_{\varsigma} = (uitschrijven) = [(6cos(\varphi)+2rsin(\varphi)), (9sin(\varphi)-3rcos(\varphi)) , 1)\)
Neem nu:
\( x = 2rcos(\varphi) \)
\( y = 3rsin(\varphi) \)
\( z = \varphi + \varsigma\)
Ofwel:
\(\mathbf{v} = [(\frac{3}{r}x+\frac{2}{3}y), (\frac{3}{r}y-\frac{3}{2}x), 1(?))\)
Wat uiteindelijk dus opleverd (op klassieke wijze):
\( div \mathbf{v} = \frac{6}{r} \)
Het antwoord is dus niet gelijk aan elkaar, bij deze laatste manier ben ik niet zeker van de (1). Ofwel, ik ben niet zeker of mijn uitdrukking van de vector in carthesische coordinaten correct is...
Mijn (sterke) vermoeden is dat de fout bij 1. ligt, bij de componenten van de vector..
Zou iemand mij kunnen helpen? ( Alvast bedankt voor de moeite!)