De stelling van Wilson, gecombineerd met een cosinus als modulo-functie:
\(P = \cos \left( \frac{\pi}{2} \,{\frac {\Gamma \left( s \right) +1 }{s}} \right) \)
levert altijd een priemgetal op voor elk geheeltallig nulpunt.De Gammafunctie kun je ook omschrijven in de Zetafunctie en wel als volgt:
\(\zeta(1-s) = 2 (2 \pi)^{-s} \cos(\dfrac{s \pi}{2}) \Gamma(s) \zeta(s)\)
\(\Rightarrow \Gamma(s) = \dfrac{\zeta(1-s)} {\zeta(s)} \dfrac{1} {2 (2 \pi)^{-s} \cos \left( \dfrac{s \pi}{2} \right) }\)
Invullen in de P-functie levert dan:\(\Rightarrow P = \cos \left( \frac{\pi}{2} \,{\frac {\dfrac{\zeta(1-s)} {\zeta(s)} \dfrac{1} {2 (2 \pi)^{-s} \cos \left( \dfrac{s \pi}{2} \right) } +1 }{s}} \right) \)
Nu een stap verder. De Zetafunctie kun je op zijn beurt weer schrijven als een Hadamard product. Hiermee wordt de Zetafunctie volledig gedetermineerd door zijn nulpunten (dus ken je de nulpunten, dan ligt daarmee de volledige Zetafunctie vast):\(\zeta(s) = \pi^{\frac{s}{2}} \dfrac{\prod_\rho \left(1- \frac{s}{\rho} \right)}{(1-s)\Gamma(1+\frac{s}{2})}\)
\(\zeta(1-s) = \pi^{\frac{(1-s)}{2}} \dfrac{\prod_\rho \left(1- \frac{(1-s)}{\rho} \right)}{(1-(1-s))\Gamma(1+\frac{(1-s)}{2})}\)
Eenvoudig te zien is de pool op s = 1, de triviale nulpunten op −2, −4, ... (door de Gammafunctie) en de non-triviale nulpunten op s = ρ. Let wel dat er nog geen enkele aanname gedaan hoeft te worden over waar precies de non-triviale nulpunten moeten liggen.Nu nemen we:
\(A=\prod_\rho \left(1- \frac{s}{\rho} \right)}\)
\(B=\prod_\rho \left(1- \frac{(1-s)}{\rho} \right)}\)
en vullen beiden vervolgens in voor de P-functie:\(P= \cos \left( \frac14\,{\frac {\pi \, \left( \sqrt {\pi }{2}^{s}B \Gamma \left( \frac{s}{2} \right) +2\,A \cos \left( \frac{\pi \,s}{2} \right) \Gamma \left( \frac12- \frac{s}{2} \right) \right) }{sA\cos \left( \frac{\pi \,s}{2} \right) \Gamma \left( \frac12-\frac{s}{2} \right) }} \right) \)
Hier zit hem de crux: Deze P-functie is alleen maar gelijk aan \(\cos \left( \frac{\pi}{2} \,{\frac {\Gamma \left( s \right) +1 }{s}} \right) \)
als \(A=B\)
.Omdat de stelling van Wilson reeds bewezen is en er bovendien een rechtstreeks verband bestaat tussen de non-triviale nulpunten en de priemgetallen (zowel via het Euler-product alswel via de priemtelfunctie) , MOET er dus gelden dat:
\(\Rightarrow \prod_\rho \left(1- \frac{s}{\rho} \right)} = \prod_\rho \left(1- \frac{(1-s)}{\rho} \right)}\)
Dit is natuurlijk altijd waar voor \(s=\frac12\)
ongeacht de \(\rho\)
, maar aangezien reeds bewezen is dat de non-triviale nulpunten imaginair zijn en bovendien geldt dat \(0<\Re(\rho)<1\)
is er maar één mogelijkheid waarbij deze gelijkheid ook geldt ongeacht de s en dat is zodra \(\Re(\rho)=\frac12\)
.Samenvattend:
* De stelling van Wilson is reeds bewezen.
* Een cosinus van de Wilson-formule determineert waar de priemgetallen liggen (alle geheeltallige nulpunten)
* De Gammafunctie uit de Wilson formule kun je omschrijven naar Zetafuncties.
* De Zetafuncties zijn volledig gedermineerd door hun non-triviale nulpunten en een aangepaste Gammafunctie.
* De Wilson-formule kun je daarom ook beschrijven in non-triviale nulpunten en een aangepaste Gammafunctie.
* Maar deze versie van de Wilson-functie levert alleen maar de originele Gammafunctie op als A = B.
* En dat is alleen het geval als
\(\Re(\rho)=\frac12\)
.Of zit ik in een cirkel?
P.S.
De subheader moet natuurlijk "non-triviale nulpunten" zijn. Kon het niet meer aanpassen:
