Pi en e zijn irationale getallen, maar ook nog trancedent
√2 is ook een irationaal getal, maar heeft nog iets met gehele getallen
De getallen pi en e zijn trancedent en horen nergens bij..zijn de eigenheimers onder de getallen
--------------------------------------------------
Het getal pi behoort tot de oneindig voortlopende tiendelige breuken die we irrationele getallen noemen. Irrationele of ongerijmde getallen vormen het dagelijks brood van alle rekenwerk. Is de schuine zijde van een gelijkbenige rechthoek niet het product van een zijde maal √2. En √2 is 1,414214
en blijkt ook een irrationeel getal te zijn. Ook de meeste van de logaritmen zijn bijna alle irrationele getallen. Irrationele getallen zijn nog een beetje verwant met hele getallen, want door b.v. √2 met zichzelf te vermenigvuldigen geeft als uitkomst het hele getal twee.
Onder de irrationele getallen bestaan echter nog bijzondere getallen, die men door geen enkele rekenkundige bewerking met gehele getallen kan verkrijgen, die dus met de gehele getallen helemaal geen verwantschap vertonen en derhalve tot een ander ,,ras" behoren. Men noemt ze transcendente getallen, dus ,,bovenzinnelijke" getallen.
De oude Grieken hebben zich al over de irrationele getallen geërgerd. De ontdekking der transcendente getallen is iets van de nieuwere tijd. Zelfs de ,,koning" der wiskundigen, Gauss, wist er nog niet veel van. Pas omstreeks 1840 vond men die merkwaardigheid.
Het belangrijkste getal, zonder welke de hele techniek eenvoudig ondenkbaar is, behoort tot de transcendente getallen.
Het is het sinds duizenden jaren min of meer nauwkeurig bekende z.g.n. getal van Ludolf, dat aangeeft, hoeveel maal de omtrek van een cirkel groter is dan de middellijn: het beroemde, dagelijks miljoenen keren gebruikte getal ,,π" behoort hiertoe. Dat getal is in de eerste plaats irrationeel, d.w.z. het kan alleen met behulp van een oneindig lange tiendelige breuk zonder periode opgeschreven worden en luidt: 3,14 159 265 358 979 323 846
...
Dat het getal transcendent is, werd pas in 1882 door Lindemann bewezen. Reeds vroeger vond men het bewijs dat ook het ,,getal der getallen", misschien wel het allerbelangrijkste getal, de hoeksteen van alle wiskunde, het getal ,,e", de beroemde basis van de natuurlijke logaritmen; nl. 2,718 281 828 459 045
... transcendent is. Deze ontdekking is door Hermite in 1873 gedaan.
Er was een tijd, dat de wiskundigen zulke transcendente getallen voor grote zeldzaamheden hielden. Een fout, die grondig hersteld werd, want nu is bewezen, dat ook het aantal transcendente getallen oneindig groot is, dat zij zo ,,dicht" op elkaar op de lijn der getallen staan dat we het ons niet kunnen voorstellen.
