\( (\Omega, \mathcal{F}, P) \)
gegeven zijn,definieer
\( f: \rr \rightarrow \rr \)
, als \( f(x) = 1_B(x) \)
, waar 1 de indicatie functie is en B een Borel set.Laat
\( P_X : \mathcal{B} \rightarrow [0,1], P_X(B) = P(X \in B) \)
Te Bewijzen:\( \mathbb{E}^P(f(X)) = \mathbb{E}^{P_X}(f) \)
\( \begin{align*} \mathbb{E}^P(f(X)) &= \mathbb{E}^P(1_B(X(w)) \\ &= \mathbb{E}^P(1_{(X^{-1}(B))}) \\ &= \mathbb{E}^P(1_{(X \in B)}) \\ &= P(X \in B) \\ &= \mathbb{E}^{P_X}(1_B(x)) \\ &= \mathbb{E}^{P_X}(f) \\\end{align*} \)
Klopt het bewijs?alvast bedankt!
