Springen naar inhoud

Problemen met faculteitsberekeningen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

stephanovich

    stephanovich


  • 0 - 25 berichten
  • 6 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 17 oktober 2011 - 22:32

Hallo,
ik ben momenteel bezig met volledige inductie, sommaties en faculteiten
hierbij kreeg ik de volgende vraag:
bewijs met volledige inductie dat:
LaTeX

gelijk is aan (n+1)!-1

De eerste paar stappen gaan goed:
laat zien dat p(1) waar is
1*1!=2!*1 klopt

neem aan dat p(n) waar is, dus:

LaTeX = (n+1)!-1

vervolgens aantonen dat p(n+1) waar is, en in de volgende uitwerkingen volgen voor mij de problemen

LaTeX =LaTeX +(n+1)*(n+1)!

ik snap hierbij niet hoe ze aan die " (n+1)*(n+1)!" komen

en vervolgens werken ze het verder uit:
1:(n+1)!-1+(n+1)*(n+1)!
2:(n+2)(n+1)!-1
3:(n+2)!-1
4:((n+1)+1)!-1

ik snap hierbij niet hoe ze van de eerste naar de tweede vergelijking gaan.

zou iemand mij met deze 2 dingen kunnen helpen?
bij voorbaat dank.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Shadeh

    Shadeh


  • >100 berichten
  • 234 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 oktober 2011 - 22:42

LaTeX

(n+1)*(n+1)! is de n+1-de term van de sommatie.

Veranderd door Shadeh, 17 oktober 2011 - 22:44


#3

Shadeh

    Shadeh


  • >100 berichten
  • 234 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 oktober 2011 - 23:00

Wat betreft het tweede, als je (n+1)(n+1)! nu eens schrijft als n(n+1)!+(n+1)! geraak je er dan?

#4

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9905 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 18 oktober 2011 - 09:17

LaTeX



gelijk is aan (n+1)!-1


vervolgens aantonen dat p(n+1) waar is, en in de volgende uitwerkingen volgen voor mij de problemen

LaTeX =LaTeX +(n+1)*(n+1)!

ik snap hierbij niet hoe ze aan die " (n+1)*(n+1)!" komen

Hoeveel termen staan er links en hoeveel rechts?

Het is vaak nuttig een aantal termen uit te schrijven, bv de eerste drie en de laatste twee.

Ook is deze stap noodzakelijk want je moet de inductieveronderstelling kunnen gebruiken ...

Veranderd door Safe, 18 oktober 2011 - 09:25


#5

stephanovich

    stephanovich


  • 0 - 25 berichten
  • 6 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 18 oktober 2011 - 12:06

links staan er n- termen aangezien het begint bij k=1 en eindigt bij n
waarbij de laatste term van p(n) volgens mij (n*n!) is
bij het volgende deel is de laatste term (n+1)*(n+1)! .... logisch dat ik dat niet eerder zag! dank u wel, dit is al een stuk duidelijker

alleen bij het tweede deel daagt er nog niet veel

ik weet dat (n+1)! hetzelfde is als n!(n+1) aangezien n!= 1*2*3*4....*(n-1)*n
en (n+1)= 1*2*3*4*....*(n-1)*n*(n+1)

dus krijg je volgens mij iets zoals:
n!(n+1)+(n+1)*n!(n+1)

maar toch is het me niet gelukt om

1:(n+1)!-1+(n+1)*(n+1)!
te schrijven als
2:(n+2)(n+1)!-1
te schrijven als
3:(n+2)!-1

ook lukt het me niet om uit te komen op de manier die shadeh me gaf

Veranderd door stephanovich, 18 oktober 2011 - 12:18


#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 18 oktober 2011 - 13:07

Ik vind het heel verwarrend wat je nu wel en niet snapt...
LaTeX
Dit snap je nu?

Dan hier:

1:(n+1)!-1+(n+1)*(n+1)!
2:(n+2)(n+1)!-1

Stel dat er zoiets stond: b - 1 + a b. Kon je dit dan anders (korter) schrijven?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

stephanovich

    stephanovich


  • 0 - 25 berichten
  • 6 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 18 oktober 2011 - 14:55

Ik snap hem nu helemaal!
de hele som is me nu duidelijk
dank jullie wel voor de geweldige hulp!

#8

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9905 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 18 oktober 2011 - 21:17

Kan je de opl nu eens netjes uitschrijven ...

#9

stephanovich

    stephanovich


  • 0 - 25 berichten
  • 6 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 20 oktober 2011 - 22:32

Bewijs met volledige inductie:

laat zien dat
LaTeX = (n+1)!-1

1:
laat zien dat p(1) waar is
1*1!=2!*1 klopt

2:
neem aan dat p(n) waar is, dus:

LaTeX = (n+1)!-1
3:

vervolgens aantonen dat p(n+1) waar is,

LaTeX


vul in plaats van k nu (n+1) in en je krijgt:
(n+1)(n+1)!
dus

LaTeX +(n+1)*(n+1)!

vervolgens gebruik je dat p(n) waar is, dus:
1* : (n+1)!-1+(n+1)*(n+1)!
2* : (n+2)(n+1)!-1
3* : (n+2)!-1
4* : ((n+1)+1)!-1


1*: Gebruik maken van de aanname dat p(n) waar is
2*: Stel (n+1)!-1+(n+1)*(n+1)! = a-1+ba, dan is dat hetzelfde als: a(1+b)-1.
dus (n+1)!((1+(n+1))-1
en dat is hetzelfde als (n+1)!(n+2)-1
dan simpelweg omdraaien: (n+2)(n+1)!-1

3*: maak gebruik van het feit dat (n+2)!= 1*2*3*4*.....*n*(n+1)*(n+2)
dus (n+2)(n+1)!= (n+2)!

dus zo kom je aan (n+2)!-1
4*: (n+2)!-1= ((n+1)+1)-1

hopelijk is dit de juiste uitleg nu. Nogmaals bedankt.

Veranderd door stephanovich, 20 oktober 2011 - 22:34


#10

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9905 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 21 oktober 2011 - 09:21

Bewijs met volledige inductie:

laat zien dat
LaTeX



1:
laat zien dat p(1) waar is
1*1!=2!*1 klopt

2:
neem aan dat p(n) waar is, dus inductieveronderstelling

LaTeX = (n+1)!-1
3:

vervolgens aantonen dat p(n+1) waar is, dus

LaTeX


vul in plaats van k nu (n+1) in en je krijgt:
(n+1)(n+1)!
dus
Maak gebruik van de inductieveronderstelling

LaTeX

w.t.b.w

vervolgens gebruik je dat p(n) waar is, dus:
1* : (n+1)!-1+(n+1)*(n+1)!
2* : (n+2)(n+1)!-1
3* : (n+2)!-1
4* : ((n+1)+1)!-1


1*: Gebruik maken van de aanname dat p(n) waar is
2*: Stel (n+1)!-1+(n+1)*(n+1)! = a-1+ba, dan is dat hetzelfde als: a(1+b)-1.
dus (n+1)!((1+(n+1))-1
en dat is hetzelfde als (n+1)!(n+2)-1
dan simpelweg omdraaien: (n+2)(n+1)!-1

3*: maak gebruik van het feit dat (n+2)!= 1*2*3*4*.....*n*(n+1)*(n+2)
dus (n+2)(n+1)!= (n+2)!

dus zo kom je aan (n+2)!-1
4*: (n+2)!-1= ((n+1)+1)-1

hopelijk is dit de juiste uitleg nu. Nogmaals bedankt.

Het ziet er heel goed uit. Een paar puntjes: ik vul dat hierboven in

Ik begrijp niet goed waarop je het volgende schrijft:

en dat is hetzelfde als (n+1)!(n+2)-1
dan simpelweg omdraaien: (n+2)(n+1)!-1


Immers (bv) 8!=7!*8, dus (n+1)!*(n+2)=(n+2)!

#11

stephanovich

    stephanovich


  • 0 - 25 berichten
  • 6 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 21 oktober 2011 - 14:03

Het ziet er heel goed uit. Een paar puntjes: ik vul dat hierboven in

Ik begrijp niet goed waarop je het volgende schrijft:



Immers (bv) 8!=7!*8, dus (n+1)!*(n+2)=(n+2)!

sorry dat ik het woord inductieveronderstelling vergat, aangezien mijn colleges geheel in het Engels zijn wist ik de term in het Nederlands niet meer.

jou voorbeeld is ook goed, ik rangschik het alleen net iets anders

in mijn voorbeeld zet ik het liever zo:

oorspronkelijk: 7!*8
Ik schrijf dat voor mezelf liever zo op : 8!*7 = 8!
dus (n+1)!*(n+2)= (n+2)(n+1)! = (n+2)!

#12

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9905 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 21 oktober 2011 - 16:04

oorspronkelijk: 7!*8
Ik schrijf dat voor mezelf liever zo op : 8!*7 = 8!
dus (n+1)!*(n+2)= (n+2)(n+1)! = (n+2)!

Echt belangrijk is dit niet.

Maar 8!*7 = 8! is wel fout.

En ik ben gewend om 1*2*3*4*5*6*7*8=8! maar ook als 1*2*3*4*5*6*7 *8=7!*8 te schrijven als dat nodig is ...
8 is de opvolgende factor van 7!

Veranderd door Safe, 21 oktober 2011 - 16:09


#13

stephanovich

    stephanovich


  • 0 - 25 berichten
  • 6 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 22 oktober 2011 - 21:33

Echt belangrijk is dit niet.

Maar 8!*7 = 8! is wel fout.

En ik ben gewend om 1*2*3*4*5*6*7*8=8! maar ook als 1*2*3*4*5*6*7 *8=7!*8 te schrijven als dat nodig is ...
8 is de opvolgende factor van 7!


mijn fout inderdaad
ik bedoelde:
7!*8
naar :
8*7!

Maar dat had ik gewoon even over het hoofd gezien.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures