Springen naar inhoud

pythagoras oplympiade: opgave 105


  • Log in om te kunnen reageren

#1


  • Gast

Geplaatst op 18 maart 2004 - 14:48

Opgave 105
A, B en C zijn drie rijtjes nullen en enen van dezelfde lengte n. Definieer voor twee rijtjes x en y de afstand d(x, y) als het aantal plaatsen waar x en y niet hetzelfde getal hebben (bijvoorbeeld d(10011, 11010) = 2). Als nu d(A, B) = d(A, C) = d(B, C) = t, bewijs dan dat

t even is;
er een rijtje D van lengte n is met d(A, D) = d(B, D) = d(C, D) = frac{1}{2}t.

enig idee hoe dit moet?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Ernie

    Ernie


  • >100 berichten
  • 179 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 maart 2004 - 18:12

Aha, daar hebben we nog eens een interessant wiskundeprobleem :shock:

1) We bewijzen dat t even is.
Modulo 2 geldt er: d(A, B) = (a_1 - b_1) + (a_2 - b_2) + ... + (a_n - b_n) = (a_1 + a_2 + ... + a_n) + (b_1 + b_2 + ... + b_n). Gelijkaardige gelijkheden voor d(B, C) en d(C, A) geven 3t = d(A, B) + d(B, C) + d(C, A) = 2[(a_1 + ... + a_n) + (b_1 + ... + b_n) + (c_1 + ... + c_n)] dus is t even.
2) We definiŽren het rijtje D als volgt voor elke i: Als a_i = b_i = c_i stellen we a_i = b_i = c_i = d_i. In 't andere geval zijn precies twee van de getallen a_i, b_i, c_i gelijk: we geven dan d_i die bepaalde waarde. We gaan na dat dit rijtje D voldoet. Idd, zij A' het aantal indices i waarvoor a_i =/= b_i en a_i =/= c_i, en definieer B' en C' analoog. Dan geldt d(A, D) = A', d(B, D) = B' en d(C, D) = C'. Ook geldt t = d(A, B) = A' + B', t = d(B, C) = B' + C' en t = d(C, A) = C' + A' zodat inderdaad (na wat rekenen) A' = B' = C' = t/2.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures