Springen naar inhoud

Een bijzondere limiet aantonen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 januari 2012 - 19:47

Hallo,

Heeft iemand een goed bewijs om aan te tonen dat:
LaTeX

Als er geldt dat: LaTeX is het direct bewezen.
Echter voor de andere waarden van LaTeX heb ik geen idee hoe dit te bewijzen.

Bvd!

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 02 januari 2012 - 20:30

Definieer: LaTeX . Dan is LaTeX . Kies n_0 zodat LaTeX voor alle n > n_0. (Dit kan waarom?)

Dan is, via herhaaldelijk toepassen LaTeX Kun je afmaken?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 januari 2012 - 20:59

Kies n_0 zodat LaTeX

voor alle n > n_0. (Dit kan waarom?)


Dit volg ik niet, er staat nergens een LaTeX in de uitdrukking

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 02 januari 2012 - 21:01

Nee, dat is ook de bedoeling... Er staat toch ook: 'kies n0 zodat ... voor alle n > n0'?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

hanzwan

    hanzwan


  • >100 berichten
  • 132 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 januari 2012 - 11:18

Siron , wat is je wiskunde niveau? Heb je zowel calculus 1 als 2 gehad? In calculus 1 worden meestal alleen de resultaten van het bewijs geleverd en wordt er verder van uit gegaan dat je intu´tief snapt dat een faculteit het 'wint' van een macht. In een cursus calculus twee wordt het limiet vaak aangetoond. Dit gaat dan op de manier die door Drieske is gepost, dmv de zogenaamde Ratio Test.

Bij een Ratio test wordt er gekeken of de waarden van twee opeenvolgende antwoorden (n en n+1) relatief toeneemt, afneemt of gelijk blijft. Kijk voor meer informatie hier:

http://en.wikipedia....wiki/Ratio_test

ik hoop dat je hier wat aan hebt.

#6

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 januari 2012 - 13:59

Siron , wat is je wiskunde niveau? Heb je zowel calculus 1 als 2 gehad? In calculus 1 worden meestal alleen de resultaten van het bewijs geleverd en wordt er verder van uit gegaan dat je intu´tief snapt dat een faculteit het 'wint' van een macht. In een cursus calculus twee wordt het limiet vaak aangetoond. Dit gaat dan op de manier die door Drieske is gepost, dmv de zogenaamde Ratio Test.

Bij een Ratio test wordt er gekeken of de waarden van twee opeenvolgende antwoorden (n en n+1) relatief toeneemt, afneemt of gelijk blijft. Kijk voor meer informatie hier:

http://en.wikipedia....wiki/Ratio_test

ik hoop dat je hier wat aan hebt.


Bedankt!
Met de ratio test kom er 0 uit. Ik heb alleen nog maar calculus 1 gehad (niveau: 1ste bachelor wiskunde).

#7

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 03 januari 2012 - 14:14

Ja, maar vergeet dan even die ratio test. Mijn manier lijkt misschien op de ratio test, maar was niet zo bedoeld :). Je kunt er echt wel zo geraken. Snap je nu alvast waar je eerst vast liep?

Dit volg ik niet, er staat nergens een n_0 in de uitdrukking

Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#8

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 januari 2012 - 14:59

Nee, dat is ook de bedoeling... Er staat toch ook: 'kies n0 zodat ... voor alle n > n0'?


Moet ik nu een bepaalde waarde van LaTeX zoeken?

#9

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 04 januari 2012 - 15:02

Nee (dat mag wel, maar moet niet per se)... Je bent het met me eens dat, voor n groot genoeg, er geldt dat LaTeX ? Je zegt nu gewoon: kies n0 het overgangspunt...

Heb je nog nooit eerder met limieten van rijen en dergelijke gewerkt?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#10

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 januari 2012 - 15:20

Nee (dat mag wel, maar moet niet per se)... Je bent het met me eens dat, voor n groot genoeg, er geldt dat LaTeX

? Je zegt nu gewoon: kies n0 het overgangspunt...

Heb je nog nooit eerder met limieten van rijen en dergelijke gewerkt?


Rijen e.d staan niet in de cursus calculus die ik nu heb gehad ... het is geen eigenschap dat ergens in de cursus staat, maar bij taylorreeksen kwam ik deze limiet tegen en ik wilde graag weten hoe ze erop kwamen dat deze limiet gelijk is aan 0.

#11

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 04 januari 2012 - 15:33

Hmm, als je rijen en dergelijke niet kent, is het misschien niet erg nuttig je dat bewijs te geven... Of heb je toch interesse?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 januari 2012 - 15:57

Ik geef nog een alternatieve manier die je misschien wat inzicht geeft in hoe je zelf op bewijsjes kan komen.

Probeer eerst intu´tief te begrijpen waarom de limiet inderdaad 0 is. Voor x tussen 0 en 1 vond je dat al duidelijk, kijk eens wat er gebeurt voor x > 1. In de teller krijg je n factoren van deze x, in de noemer krijg je ook n factoren maar van de vorm 1*2*...*n. Zo lang n < x, is de teller duidelijk groter (want elke factor is groter). Maar je neemt de limiet voor n naar oneindig dus hoe groot x ook is, x is vast, ooit zal n groter worden dan x. Vanaf dat moment worden de factoren in de noemer allemaal groter dan de bijkomende factoren in de teller. Dit zou inspiratie kunnen geven: dat 'moment' is wellicht van belang want vanaf dan begint de noemer (niet onmiddellijk, maar stilaan...) te domineren.

Even in formules gieten: stel x > 0 (negatief kan je analoog doen of in een keer door wat te prutsen met absolute waarden) en kies een natuurlijk getal k zodat k > x. In dat geval is x/k < 1 en gaat (x/k)n dus zeker naar 0. Dat weet je wellicht wel? Meer is er eigenlijk niet nodig. Een beetje herschrijven en afschatten:

LaTeX

In de stap van de afschatting vervang je elke factor vanaf k+1 tot en met n door k; deze k is nog steeds groter dan x maar je maakt hierdoor de noemer kleiner dus de breuk groter. Je kan dan handig de factor (x/k)n afzonderen en de factor die ervoor staat, kk/k!, is mogelijk 'heel groot', maar wel constant en eindig. Neem nu de limiet:

LaTeX
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures