Springen naar inhoud

krommes in het platte vlak


  • Log in om te kunnen reageren

#1

lsc

    lsc


  • 0 - 25 berichten
  • 2 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 18 oktober 2005 - 10:45

Stel we tekenen in het platte vlak n gesloten krommen. Als elk van deze krommen elke andere in twee punten snijdt en geen enkel drietal krommen door een punt gaat, in hoeveel gebieden wordt het plattevlak dan door deze krommen verdeelt?

Wie o Wie helpt me uit de brand :-) zit inmiddels al een uur te puzzelen met het wil nog niet echt lukken!

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2


  • Gast

Geplaatst op 18 oktober 2005 - 14:46

Er zijn tal van manieren om dit op te lossen.
Ikzelf geef de voorkeur aan een recurrente betrekking om daarna een
expliciete uitdrukking te vinden.

Laat s_{n-1} het aantal aantal gebieden voor n-1 krommen.
Als we nu een kromme erbij tekenen, dus in totaal hebben we dan n
krommen, verkrijgen we s_{n} gebieden. Welnu, we hebben reeds die
s_{n-1} gebieden en als we nu een nieuwe kromme trekken door n-1
eerdere krommen krijgen we er 2(n-1) gebieden bij.
Immers een elke lijn verdeelt een gebied in 2 gebieden.
We vinden dus de recurrente betrekking:

s_{n} = s_{n-1} + 2(n-1) ..... (n >=1)

In feite ben je nu al klaar, maar een functie s : [1, inf) --> IN is netter.
Laten we nu een exachte uitdrukking voor s(n) bepalen.
Probeer gewoon s(n) = an^2 + bn + c

Dan is:

s(n-1) + 2(n-1) =
a(n-1)^2 + b(n-1) + c + 2(n-1) =
an^2 - 2an + a + bn - b + c + 2n - 2 =
an^2 + (2 + b - 2a)n + (a - b + c - 2)

Gelijkstelling van coefficienten levert:
a = 1, b = -1 en c nader te bepalen

Dus:

s(n) = n^2 - n + c

Met s_{1} = 2 vinden we c = 2

Zodat het aantal gebieden is:

s(n) = n^2 - n + 2 ..... voor alle n >= 1

Tabelletje:
=========
n............s(n)
----------------
1............2
2............4
3............8
4............14
5............22

#3


  • Gast

Geplaatst op 18 oktober 2005 - 14:51

Oh, er zit een klein slordigheidje in het bovenstaande, de recurrente betrekking geldt voor n >= 2. De expliciete uitdrukking voldoet ook nog eens voor n = 1.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures