Even en oneven functies
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
-
- Berichten: 40
Even en oneven functies
Een functie is even als deze symmetrisch is rond de y-as.
Een functie is oneven als deze symmetrisch is rond de oorsprong.
Maar hoe toon ik aan de elke functie van R naar R te schrijven is als de som van een even en oneven functie ?
Ik heb werkelijk geen idee hoe ik hieraan moet beginnen.
Alvast bedankt!
Een functie is oneven als deze symmetrisch is rond de oorsprong.
Maar hoe toon ik aan de elke functie van R naar R te schrijven is als de som van een even en oneven functie ?
Ik heb werkelijk geen idee hoe ik hieraan moet beginnen.
Alvast bedankt!
- Berichten: 4.320
Re: Even en oneven functies
Bekijk deze:
\(g(x)= \frac{f(x)+f(-x)}{2}\)
de functie g is dus: ....In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Even en oneven functies
Druk dit eens uit in het functie voorschrift. Dus f(x) is even als ... ,Een functie is even als deze symmetrisch is rond de y-as.
Een functie is oneven als deze symmetrisch is rond de oorsprong.
Een functie g(x) is oneven als ...
Stel dan het volgende: h(x)=f(x)+g(x) wat is dan h(-x)=...
-
- Berichten: 40
Re: Even en oneven functies
tempelier schreef:Bekijk deze:\(g(x)= \frac{f(x)+f(-x)}{2}\)- Even: f(-x) = f(x)Druk dit eens uit in het functie voorschrift. Dus f(x) is even als ... ,
Een functie g(x) is oneven als ...
Stel dan het volgende: h(x)=f(x)+g(x) wat is dan h(-x)=...
- Oneven: g(-x) = - g(x)
h(-x) = f(-x) + g(-x)
= f(x) - g(x)
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Even en oneven functies
Mooi, zet nu h(x) en h(-x) eens onder elkaar ...
Kan je nu f(x) en g(x) in h(x) en h(-x) uitdrukken?
Kan je nu f(x) en g(x) in h(x) en h(-x) uitdrukken?
-
- Berichten: 40
Re: Even en oneven functies
Volgens mij krijg ik dan:
f(x) = ( h(x) + h(-x) ) / 2
g(x) = ( h(x) - h(-x) ) / 2
f(x) = ( h(x) + h(-x) ) / 2
g(x) = ( h(x) - h(-x) ) / 2
-
- Berichten: 7.068
Re: Even en oneven functies
Alles bij elkaar:
Stel h(x) is een functie. Dan kan je zeggen:
Stel:
Dan bekijk je:
Stel h(x) is een functie. Dan kan je zeggen:
\(f(x) = \frac{h(x) + h(-x)}{2}\)
Deze nieuwe functie kan je onderzoeken op 'evenheid':\(f(-x) = \frac{h(-x) + h(x)}{2} = \frac{h(x) + h(-x)}{2} = f(x)\)
Deze functie f(x) is dus even.Stel:
\(g(x) = \frac{h(x) - h(-x)}{2}\)
Dan:\(g(-x) = \frac{h(-x) - h(x)}{2} = -\frac{h(x) - h(-x)}{2} = -g(x)\)
De functie g(x) is dus oneven.Dan bekijk je:
\(f(x) + g(x) = \frac{h(x) + h(-x)}{2} + \frac{h(x) - h(-x)}{2} = h(x)\)
Je kan dus een even functie f(x) maken op basis van h(x) en je kan een oneven functie g(x) maken op basis van h(x) en de som van die twee functies is dan weer h(x). h(x) is dus uit te drukken als de som van een oneven en een even functie (namelijk f(x) en g(x)).- Berichten: 4.320
Re: Even en oneven functies
Ales lijkt te klopen, maar ook niet er zit een onvolkomenheid in.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.
- Berichten: 4.320
Re: Even en oneven functies
Dit is een foutje van me, ik had iets over de kop gezien.Ales lijkt te klopen, maar ook niet er zit een onvolkomenheid in.
Slechte beurt van me.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.
-
- Berichten: 40
Re: Even en oneven functies
Ales lijkt te klopen, maar ook niet er zit een onvolkomenheid in.
Wat klopt er dan volgens u niet ?
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Even en oneven functies
En dus is h(x)= ... (vul f(x) en g(x) in)_Wisk_ schreef:Volgens mij krijg ik dan:
f(x) = ( h(x) + h(-x) ) / 2
g(x) = ( h(x) - h(-x) ) / 2
Ga nog eens alle stappen na.
-
- Berichten: 40
Re: Even en oneven functies
Neem een willekeurige functie h(x) en stel dat deze gelijk is aan de som van een even en een onven functie:
h(x) = f(x) + g(x) (1)
Dan is:
h(-x) = f(-x) + g(-x) (2)
Uit (1) en (2) volgen dat:
f(x) = (h(x) + h(-x)) / 2
g(x) = (h(x) - h(-x)) / 2
We kunnen vervolgens controleren of f(x) even is:
f(-x) = (h(-x) + h(x)) / 2 = f(x) -> Deze is dus even.
We kunnen ook controleren of g(x) oneven is:
g(-x) = (h(-x) - h(x)) / 2 = - [(h(x) - h(-x)) / 2] = - g(x) -> Deze is dus oneven.
We weten dat h(x) = f(x) en g(x) en we hebben net aangetoond dat f(x) even en g(x) oneven is.
Hieruit volgt dat h(x) dus is opgebouwt uit een even en een oneven functie; waardoor het bovenstaande bewezen is.
h(x) = f(x) + g(x) (1)
Dan is:
h(-x) = f(-x) + g(-x) (2)
Uit (1) en (2) volgen dat:
f(x) = (h(x) + h(-x)) / 2
g(x) = (h(x) - h(-x)) / 2
We kunnen vervolgens controleren of f(x) even is:
f(-x) = (h(-x) + h(x)) / 2 = f(x) -> Deze is dus even.
We kunnen ook controleren of g(x) oneven is:
g(-x) = (h(-x) - h(x)) / 2 = - [(h(x) - h(-x)) / 2] = - g(x) -> Deze is dus oneven.
We weten dat h(x) = f(x) en g(x) en we hebben net aangetoond dat f(x) even en g(x) oneven is.
Hieruit volgt dat h(x) dus is opgebouwt uit een even en een oneven functie; waardoor het bovenstaande bewezen is.
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Even en oneven functies
Prima, hoewel het iets korter kan ...
-
- Berichten: 40
Re: Even en oneven functies
Maar toch niet veel ? Ik zie trouwens niet waar het korter zou kunnen.Prima, hoewel het iets korter kan ...
Bedankt allemaal!