Veeltermfunctie

PhilipVoets

Als voor alle natuurlijke getallen n geldt dat:

f(2^n - 1) = 4n^2n - 1

Gegeven is dat we zoeken naar een veeltermfunctie, welke?
Het lijkt me iets in de richting van f(x) = x^4 + …, aangezien geldt: (2^n)^4 = 4^2n, maar iemand die de rest van de functie paraat heeft?
Ik dacht nog aan het uitsplitsen naar ((2^n)^2 - 1) ((2^n)^2 + 1), maar dat levert me ook weinig op..

PhilipVoets

De vraag achter de vraag is wat f(2) is. Ik kom dan uit op 80, namelijk: 2^n - 1 = 2 geeft n = log(3)/log(2), waarbij geldt: 4^2log(3)/log(2) - 1 = 80, maar waarschijnlijk is het ook mogelijk om te bedenken hoe de veeltermfunctie f(x) eruit ziet en dan x = 2 daar in te vullen …

wnvl1

hint:

$$4n^{2n} - 1=(2n^n - 1)(2n^n + 1)=(2n^n - 1)(2n^n - 1 +2)$$

PhilipVoets

Ik zie dat ik het in de gauwigheid nog verkeerd genoteerd heb ook, excuses: moet zijn dat geldt voor iedere natuurlijke n dat: f(2^n - 1) = 4^2n - 1, dus niet 4n^2n. Maar goed, dan geldt nog steeds natuurlijk (aangezien: 4^2n = (2^2)^2n = (2^2n)^2): 4^2n - 1 = (2^2n - 1)(2^2n + 1) = (2^2n - 1)(2^2n - 1 + 2). Aangezien je dan nog steeds met dat kwadraat zit, kun je alleen niet eenvoudig substitueren x = 2^n - 1…

PhilipVoets

wnvl1 schreef: ↑za 11 mei 2024, 12:38 hint:

$$4n^{2n} - 1=(2n^n - 1)(2n^n + 1)=(2n^n - 1)(2n^n - 1 +2)$$

Of mis ik iets?

wnvl1

Ja, ik denk dat het met mijn hint zo goed als opgelost is. Stel x gelijk aan $2n^n-1$ in het rechterlid van de formule.

PhilipVoets

De functie in kwestie is: f(2^n - 1) = 4^2n - 1

Dan geldt toch: 4^2n - 1 = (2^2n - 1)(2^2n - 1 + 2)? Dan zit je toch met een kwadraat en kun je niet zomaar x = 2^n - 1 substitueren voor 2^2n - 1?

Bovendien, als de functie dan zou worden: f(x) = x(x + 2) geldt: f(2) = 8 en dat is niet correct…

wnvl1

Ik zie het probleem niet.

f(x)=x*(x+2)

RedCat

$\small x = 2^n-1$

$\small f(x) = 4^{2n} - 1 = 2^{4n}-1 = (2^{2n}-1)(2^{2n}+1) = (2^n-1)(2^n-1+2)(2^{2n}+1)$

Verder is

$\small x^2 = (2^n-1)^2 = 2^{2n}-2\cdot 2^n + 1 $

dus

$\small x^2 + 2x + 2 = (2^{2n}-2\cdot 2^n + 1) + 2(2^n-1) + 2 $

$\small = 2^{2n} - 2\cdot 2^n + 1 + 2\cdot 2^n - 2 + 2 $

$\small = 2^{2n} + 1$

en dit is de laatste factor van je polynoom.

Dus:

$\small f(x) = (2^n-1)(2^n-1+2)(2^{2n}+1) = x(x+2)(x^2+2x+2)$

waarmee

$\small f(2) = 2\cdot 4 \cdot 10 = 80$

PhilipVoets

Yes, dank! Dit is inderdaad de oplossing. Kwam overigens ook via de illegale route op f(2) = 80, namelijk door: 2^n - 1 = 2 —> n = log(3)/log(2) —> 4^2n -1 = 4^2log(3)/log(2) - 1 —> log(9)/log(2) = log(x)/log(4) —> x = 81 —> x - 1 = 80. Nogmaals, valt e.e.a op aan te merken, o.a. dat de voorwaarde voor natuurlijke getallen genegeerd wordt, maar het antwoord f(2) = 80 klopt

RedCat

PhilipVoets schreef: ↑ma 13 mei 2024, 08:00 ... valt e.e.a op aan te merken, o.a. dat de voorwaarde voor natuurlijke getallen genegeerd wordt ...

Bovenstaande afleiding geldt voor alle $\small n \in \mathbb{R}$, dus ook voor $\small n \in \mathbb{N}$

PhilipVoets

RedCat schreef: ↑wo 15 mei 2024, 10:49
PhilipVoets schreef: ↑ma 13 mei 2024, 08:00 ... valt e.e.a op aan te merken, o.a. dat de voorwaarde voor natuurlijke getallen genegeerd wordt ...
Bovenstaande afleiding geldt voor alle $\small n \in \mathbb{R}$, dus ook voor $\small n \in \mathbb{N}$

Bedoel je mijn afleiding of de jouwe?

RedCat

Mijn afleiding.
Jouw berekening geldt voor $\small n=\log_2(3)$ en is een mooie controle voor mijn afleiding.

wnvl1

wnvl1 schreef: ↑za 11 mei 2024, 12:38 hint:

$$4n^{2n} - 1=(2n^n - 1)(2n^n + 1)=(2n^n - 1)(2n^n - 1 +2)$$

Ik had blijkbaar de opgave verkeerd gelezen. Links is het grondtal 2, niet n.

PhilipVoets

wnvl1 schreef: ↑wo 15 mei 2024, 13:32
wnvl1 schreef: ↑za 11 mei 2024, 12:38 hint:

$$4n^{2n} - 1=(2n^n - 1)(2n^n + 1)=(2n^n - 1)(2n^n - 1 +2)$$
Ik had blijkbaar de opgave verkeerd gelezen. Links is het grondtal 2, niet n.

Dat was mijn punt in mijn eerdere reacties

Maar sowieso bedankt voor het meekijken

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Veeltermfunctie

Veeltermfunctie

Re: Veeltermfunctie

Re: Veeltermfunctie

Re: Veeltermfunctie

Re: Veeltermfunctie

Re: Veeltermfunctie

Re: Veeltermfunctie

Re: Veeltermfunctie

Re: Veeltermfunctie

Re: Veeltermfunctie

Re: Veeltermfunctie

Re: Veeltermfunctie

Re: Veeltermfunctie

Re: Veeltermfunctie

Re: Veeltermfunctie