Ik denk dat ik het gevonden heb!
Stelling De vergelijking x^4 - y^4 = 100002 heeft geen gehele oplossingen.
Bewijs De vergelijking x^4 - y^4 = 100002 heeft enkel oplossingen in
als a² - b² = 100002 gehele oplossingen heeft met a en b volkomen kwadraten. De laatste vergelijking ontbinden geeft : (a-b)(a+b)=100002. We weten echter dat 100002 = 2
3
7
2381. Om aan te tonen dat 2381 priem is , gebruiken we volgende hulpstelling (met dank aan evilbu en Rogier):
Hulpstelling Zij n
{0,1} en p (
1) de kleinste deler van n. Dan is p priem en als n niet zelf priem is, dan geldt p
n.
Met andere woorden, om priemdelers van 2381 te zoeken moeten we enkel controleren of priemen onder
2381
49 deler zijn. Manueel narekenen levert geen enkele priemdeler op. We besluiten dat 2381 priem is. Stel {2, 3, 7, 2381} = {p1, p2, p3, p4}. Dan geldt : (a-b)(a+b)= p1
p2
p3
p4. Als en slechts als a-b = p1
...
pk en a+b = p(k+1)
...
p4 met 1
k
4. Dit stelsel oplossen naar a en b geeft: a = 1/2 (p1
...
pk + p(k+1)
...
p4) en b = 1/2 (p1
...
pk - p(k+1) [wortel] ... [wortel] p4). We moeten wel eisen dat a en b volkomen kwadraten zijn! Beschouw daartoe de partities {{2} , {3, 7, 2381}}, {{3} , {2, 7, 2381}}, {{7} , {2, 3, 2381}}, {{2381}, {2, 3, 7}}, {{2, 3}, {7, 2381}}, {{2, 7}, {3, 2381}} en {{2, 2381}, {3, 7}} van {2, 3, 7, 2381}. Als we deze partities invullen in de oplossingen van a en b krijgen we echter nooit een kwadraat als oplossing voor a én b. Dus de vergelijking a² - b² = 100002 heeft geen oplossingen in
met de bijkomende voorwaarde dat a en b volkomen kwadraten zijn. Dus de oplossingen x^4 - y^4 = 100002 heeft geen oplossingen in [wortel] , wat moest bewezen worden.
