Springen naar inhoud

5x+x+logx=6


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Antoon

    Antoon


  • >1k berichten
  • 1750 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 december 2005 - 21:42

Ik en een vriend hebben geprobeerd deze vergelijking op telossen
5x+x+logx=6
we kwamen er niet uit en vroegen de leraar om hulp.
Deze zei dat het ommogelijk was om het optelossen zonder grafisch rekenmischine of iets dergelijks.

Is er niet iemand die het wel kan (TD, rogier,Math of iemand anders)
Of kan iemand me uitleggen waarom hij niet op telossen is?(precies)

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 december 2005 - 22:19

Je leerkracht had gelijk...

Beschouw een eenvoudiger voorbeeld: x = tan(x). Uiteraard is x = 0 een triviale oplossing, maar er is er bvb ook nog een rond x = 4.493409457. Merk op dat ik zeg 'rond' en een numerieke benadering geef, algebrasch is dat snijpunt namelijk niet exact te bepalen.

Dit verschijnsel doet zich hier (en in jouw voorbeeld) voor omdat je bepaalde types van functies mengt, zoals rationale (machten van x) met exponentiele, logaritmische, goniometrische, ...

Dit betekent niet dat dit soort "meng-vergelijkingen" nooit algebrasch oplosbaar zijn, maar in het algemene geval gaat het dus niet. Vanzelfsprekend heb ik het over 'mengen' in de zin van termen (optelling). Een volledige ontbonden vergelijking waarvan er in de factoren geen functies gemengd zijn hebben hier natuurlijk geen last van, x*tan(x) is immers 0 als x 0 is f tan(x) 0 is.

Als je over aanverwante begrippen meer wil lezen, zoek eens op "transcendental"- en "algebraic functions".

#3

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 december 2005 - 22:49

Ik en een vriend hebben geprobeerd deze vergelijking op telossen
5x+x+logx=6
we kwamen er niet uit en vroegen de leraar om hulp.
Deze zei dat het ommogelijk was om het optelossen zonder grafisch rekenmischine of iets dergelijks.

Is er niet iemand die het wel kan (TD, rogier,Math of iemand anders)  
Of kan iemand me uitleggen waarom hij niet op telossen is?(precies)

Die leraar van je is te lui :P
Hij denkt "veelterm + logaritme, dat valt niet analytisch op te lossen, klaar" :roll:

Maar soms kun je dit soort dingen best oplossen door goed te kijken. In dit geval kun je zo zien dat x=1 een oplossing is, omdat log(x) dan 0 is, dus staat er 5[.]13+12+0 = 6 :P

Om te zien dat dit ook de enige oplossing is, neem je de functie f(x) = 5x3+x2+log(x) en je zoekt x zodat f(x)=6.
Het domein van f(x) is (0,:P) vanwege de log (dus x[kleinergelijk]0 kan sowieso geen oplossing zijn). f'(x) = 15x2+2x+1/x en dat is overal >0 op dat domein, dus f is overal stijgend. Er is dus hoogstens n x die aan f(x)=6 kan voldoen.

Deze enige oplossing is x=1.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#4

Cycloon

    Cycloon


  • >1k berichten
  • 4810 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 december 2005 - 23:08

Eigelijk wel goed gezien, maar zo een geval komt wel nauwelijks voor h :roll:

#5

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 december 2005 - 23:25

Eigelijk wel goed gezien, maar zo een geval komt wel nauwelijks voor h  :roll:

Vaker dan je denkt :P
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#6

Antoon

    Antoon


  • >1k berichten
  • 1750 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 december 2005 - 23:37

grappig dat ik uit al die functies die ik kon kiezen nou net n kies die wel op te lossen is.

Hij het er erover dat als ze allemaal van de zelfde macht kwamen hij wel op te lossen is.

dus is
6x10+5x10+log x = 28,5 wel precies op te lossen?

#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 december 2005 - 23:41

grappig dat ik uit al die functies die ik kon kiezen nou net n kies die wel op te lossen is.  

Hij het er erover dat als ze allemaal van de zelfde macht kwamen hij wel op te lossen is.

dus is  
6x10+5x10+log x = 28,5 wel precies op te lossen?

"Wel op te lossen" is natuurlijk relatief, "In dit geval kun je zo zien dat x=1 een oplossing is" kan je bezwaarlijk een waterdichte analytische oplosmethode noemen, al gaat het in dit geval natuurlijk wel op.
Ik wil maar zeggen, "zien" is relatief. Hier is het triviaal, sommigen "zien" ook iets minder triviale oplossingen, maar het gaat erover dat dit type van vergelijkingen geen algemene oplossingsmethode heeft en dat een algebrasche oplossing meestal niet te bepalen is, vandaar dat je dan op numerieke benaderingen bent toegewezen.

#8

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 december 2005 - 02:48

Hij het er erover dat als ze allemaal van de zelfde macht kwamen hij wel op te lossen is.

dus is  
6x10+5x10+log x = 28,5 wel precies op te lossen?

Nee, tenzij het toevallig "mooi uitkomt" (zoals die met x=1 hierboven) is axb+log(x)=c in het algemeen niet analytisch op te lossen.

Je kunt wel oplossingen uitdrukken met de Lambert W-functie, in dit voorbeeld komt er uit:
6x10+5x10+log x = 28,5 :roll: x = e(285-LambertW(110e285))/10 :P 1.09951311372952
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#9

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 08 december 2005 - 09:35

Nee, tenzij het toevallig "mooi uitkomt" (zoals die met x=1 hierboven) is axb+log(x)=c in het algemeen niet analytisch op te lossen.

Je kunt wel oplossingen uitdrukken met de Lambert W-functie, in dit voorbeeld komt er uit:
6x10+5x10+log x = 28,5 :roll: x = e(285-LambertW(110e285))/10 :P 1.09951311372952


Ja dus.
Rogier geeft een perfecte exacte oplossing met behulp van de LambertW functie.
Wat is een analytische oplossing? Daar heb ik nog nooit van gehoord.
Waarom reken je sin, cos, arccos en log er wel toe en de LambertW functie niet?
Is dat omdat je de LambertW functie ingewikkelder vindt of zo?
Ik vind de log functie even ingewikkeld.
Of is het criterium: Een functie is analytisch als ie op de middelbare school wordt behandeld?

Om dat rare begrip te vermeiden zou ik de vraag zo stellen:
Is er een exacte expliciete oplossing x = ... voor het probleem?

#10

peterdevis

    peterdevis


  • >1k berichten
  • 1393 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 december 2005 - 18:50

Wel op te lossen" is natuurlijk relatief, "In dit geval kun je zo zien dat x=1 een oplossing is" kan je bezwaarlijk een waterdichte analytische oplosmethode noemen, al gaat het in dit geval natuurlijk wel op.


Het doel van analyse is juist om zoveel mogelijk functies op een exacte manier op te lossen.
Iemand die steeds nulpunten zoekt op een grafische manier (rekenmachine) zal de oplossing x=1 niet zomaar zien.
Iemand die analytisch een beetje onderlegt is, natuurlijk wel.
het zien duurt een seconde, de gedachte blijft voor altijd
"Blauw"

#11

StrangeQuark

    StrangeQuark


  • >1k berichten
  • 4160 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 december 2005 - 14:46

@PeterPan

Wat Rogier eigenlijk doet is net zoals een rekenmachine zou doen gokken op waar het nulpunt ligt, nou is onze Rogier een stuk slimmer dan de gemiddelde computer en ziet hij 1 vrij snel zonder dat hij heel veel mogelijkheden hoeft af te gaan. Feit blijft dat het volgens mij geen analytische oplossing is. Om een voorbeeld van een analytische oplossing te geven is:

4x-18=6 (Dus los dit analytisch op.)
4x-24=0 (Beide kanten -6)
4x=24 (Beide kanten +24, had ik ook in 1 stap kunnen doen uiteraard)
x=6. (Beide kanten delen door vier)

Dit is een analytische oplossing. Zonder het gokken (aldanniet een educated guess) kan je de oplossing exact, en dat is voornamelijk belangrijk, uitrekenen ook al heb je GEEN FLAUW BENUL wat x zou moeten zijn. Als x gelijk is aan 6 dan klopt de formule. Zonder dat je analytisch iets berekent zul je nooit weten of er ergens een exacte uitkomst uit komt. Kijk de computer kan bijvoorbeeld (als je het nummeriek benadert (een moeilijk woord voor gokken)) uitkomen op 6.0000012425 ofzo. (in dit geval waarschijnlijk niet omdat het erg simpel is) Maar is het nou exact 6, of is het inderdaat 6.000 enz. of is het misschien wel 6.001. Dit is waarom wiskundigen zich vaak in hun urn omdraaien als iets nummeriek opgelost moet worden. Het liefst zouden ze alles exact uitrekenen, daar is de wiskunde voor.

Ik weet dus niet hoe het zit met de Lambert W oplossing (geen tijd om me erin te verdiepen doe ik later wel, kmoet naar gitaarles) maar volgens mij is dat ook een benadering. Laat het dan duidelijk zijn dat je GEEN exacte oplossing hebt. Je hebt een prachtige benadering die waarschijnlijk akelig dicht in de buurt ligt, en voor de meeste doeleinden is dat meer dan genoeg, maar het is geen exacte benadering.

Snap je waarom daar een verschil tussen zit, en je als wiskundige liever een exacte oplossing hebt. (Wij natuurkundigen zijn daar niet zo rauwig om, en vinden het prima om te benaderen. Vaak verwaarlozen we toch meer dan je lief is)
De tekst in het hierboven geschreven stukje kan fouten bevatten in: argumentatie, grammatica, spelling, stijl, biologische of scheikundige of natuurkundige of wiskundige feiten kennis. Hiervoor bied StrangeQuark bij voorbaat zijn excuses aan.

#12

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 09 december 2005 - 15:33

@PeterPan

Ik weet dus niet hoe het zit met de LambertW oplossing.


De LamberW fuctie is de inverse van f(x) = x.ex.
Naar mijn mening net zo simpel of gecompliceerd als de inverse van f(x) = ex. (De grafieken lijken ook heel veel op elkaar).

Als je x = log(2) een analytische oplossing noemt van 2x = 10, dan mag je naar mijn mening x = LambertW(10.ln(2)) /ln(2)
een analytische oplossing noemen van 2x = 10/x.

Ik heb nergens een definitie van "analytische oplossing" kunnen vinden.
Ik ken wel het begrip "elementaire oplossing". Daarbij mag je zelf kiezen wat je wel elementair noemt en wat niet.

#13

StrangeQuark

    StrangeQuark


  • >1k berichten
  • 4160 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 december 2005 - 16:20

Oh ok, ik dacht dat het een benadering was van een functie. Nee dan is het inderdaad een stuk analytischer dan ik dacht. Begrijp je wel wat ik verder bedoelde?
De tekst in het hierboven geschreven stukje kan fouten bevatten in: argumentatie, grammatica, spelling, stijl, biologische of scheikundige of natuurkundige of wiskundige feiten kennis. Hiervoor bied StrangeQuark bij voorbaat zijn excuses aan.

#14

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 december 2005 - 16:54

PeterPan: de kreet "analytische oplossing" was een beetje onzorgvuldig inderdaad, ik bedoel eigenlijk algebrasche oplossing.

Met "elementaire oplossingen" zal men wel oplossingen bedoelen die zijn opgebouwd uit elementaire functies en operators, maar zoals je zegt is het een beetje subjectief wat je elementair noemt.

Ik ben het beslist met je eens dat er geen essentieel verschil zit tussen een oplossing als 3pi.gif of e5, en dingen van "moeilijke" functies afhangen zoals de Lambert W-functie, Gamma of Riemann Zeta-functie.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#15

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 09 december 2005 - 18:20

Begrijp je wel wat ik verder bedoelde?


Ja, ik denk het wel.
Als een experiment aantoont dat een fysische constante in de eerste 7 decimalen overeenkomt met de theorie, dan is er geen mens meer die twijfelt aan de juistheid van de theoretische constante.
Als een wiskundige met een computer uitrekent dat er geen oplossingen zijn voor het probleem van Fermat in x,y en z en n>2 met x,y,z en n kleiner dan 10100 dan zegt ie:
Ik heb eigenlijk nog niets bewezen.
De reden is denk ik dat de fysica sowieso een benadering is van de werkelijkheid.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures