5x³+x²+logx=6

Antoon

Ik en een vriend hebben geprobeerd deze vergelijking op telossen

5x³+x²+logx=6

we kwamen er niet uit en vroegen de leraar om hulp.

Deze zei dat het ommogelijk was om het optelossen zonder grafisch rekenmischine of iets dergelijks.

Is er niet iemand die het wel kan (TD, rogier,Math of iemand anders)

Of kan iemand me uitleggen waarom hij niet op telossen is?(precies)

TD

Je leerkracht had gelijk...

Beschouw een eenvoudiger voorbeeld: x = tan(x). Uiteraard is x = 0 een triviale oplossing, maar er is er bvb ook nog een rond x = 4.493409457. Merk op dat ik zeg 'rond' en een numerieke benadering geef, algebraïsch is dat snijpunt namelijk niet exact te bepalen.

Dit verschijnsel doet zich hier (en in jouw voorbeeld) voor omdat je bepaalde types van functies mengt, zoals rationale (machten van x) met exponentiele, logaritmische, goniometrische, ...

Dit betekent niet dat dit soort "meng-vergelijkingen" nooit algebraïsch oplosbaar zijn, maar in het algemene geval gaat het dus niet. Vanzelfsprekend heb ik het over 'mengen' in de zin van termen (optelling). Een volledige ontbonden vergelijking waarvan er in de factoren geen functies gemengd zijn hebben hier natuurlijk geen last van, x*tan(x) is immers 0 als x 0 is òf tan(x) 0 is.

Als je over aanverwante begrippen meer wil lezen, zoek eens op "transcendental"- en "algebraic functions".

Rogier

Antoon schreef:Ik en een vriend hebben geprobeerd deze vergelijking op telossen

5x³+x²+logx=6

we kwamen er niet uit en vroegen de leraar om hulp.

Deze zei dat het ommogelijk was om het optelossen zonder grafisch rekenmischine of iets dergelijks.

Is er niet iemand die het wel kan (TD, rogier,Math of iemand anders)

Of kan iemand me uitleggen waarom hij niet op telossen is?(precies)

Die leraar van je is te lui

Hij denkt "veelterm + logaritme, dat valt niet analytisch op te lossen, klaar"

Maar soms kun je dit soort dingen best oplossen door goed te kijken. In dit geval kun je zo zien dat x=1 een oplossing is, omdat log(x) dan 0 is, dus staat er 5[.]1³+1²+0 = 6

Om te zien dat dit ook de enige oplossing is, neem je de functie f(x) = 5x³+x²+log(x) en je zoekt x zodat f(x)=6.

Het domein van f(x) is (0,

) vanwege de log (dus x[kleinergelijk]0 kan sowieso geen oplossing zijn). f'(x) = 15x²+2x+1/x en dat is overal >0 op dat domein, dus f is overal stijgend. Er is dus hoogstens één x die aan f(x)=6 kan voldoen.

Deze enige oplossing is x=1.

Cycloon

Eigelijk wel goed gezien, maar zo een geval komt wel nauwelijks voor hé

Rogier

Eigelijk wel goed gezien, maar zo een geval komt wel nauwelijks voor hé

Vaker dan je denkt

Antoon

grappig dat ik uit al die functies die ik kon kiezen nou net één kies die wel op te lossen is.

Hij het er erover dat als ze allemaal van de zelfde macht kwamen hij wel op te lossen is.

dus is

6x¹⁰+5x¹⁰+log x = 28,5 wel precies op te lossen?

TD

Antoon schreef:grappig dat ik uit al die functies die ik kon kiezen nou net één kies die wel op te lossen is.

Hij het er erover dat als ze allemaal van de zelfde macht kwamen hij wel op te lossen is.

dus is

6x¹⁰+5x¹⁰+log x = 28,5 wel precies op te lossen?

"Wel op te lossen" is natuurlijk relatief, "In dit geval kun je zo zien dat x=1 een oplossing is" kan je bezwaarlijk een waterdichte analytische oplosmethode noemen, al gaat het in dit geval natuurlijk wel op.

Ik wil maar zeggen, "zien" is relatief. Hier is het triviaal, sommigen "zien" ook iets minder triviale oplossingen, maar het gaat erover dat dit type van vergelijkingen geen algemene oplossingsmethode heeft en dat een algebraïsche oplossing meestal niet te bepalen is, vandaar dat je dan op numerieke benaderingen bent toegewezen.

Rogier

Antoon schreef:Hij het er erover dat als ze allemaal van de zelfde macht kwamen hij wel op te lossen is.

dus is

6x¹⁰+5x¹⁰+log x = 28,5 wel precies op te lossen?

Nee, tenzij het toevallig "mooi uitkomt" (zoals die met x=1 hierboven) is ax^b+log(x)=c in het algemeen niet analytisch op te lossen.

Je kunt wel oplossingen uitdrukken met de Lambert W-functie, in dit voorbeeld komt er uit:

6x¹⁰+5x¹⁰+log x = 28,5

x = e^{(285-LambertW(110e²⁸⁵))/10}

1.09951311372952

PeterPan

Rogier schreef:Nee, tenzij het toevallig "mooi uitkomt" (zoals die met x=1 hierboven) is ax^b+log(x)=c in het algemeen niet analytisch op te lossen.

Je kunt wel oplossingen uitdrukken met de Lambert W-functie, in dit voorbeeld komt er uit:

6x¹⁰+5x¹⁰+log x = 28,5 x = e^{(285-LambertW(110e²⁸⁵))/10} 1.09951311372952

Ja dus.

Rogier geeft een perfecte exacte oplossing met behulp van de LambertW functie.

Wat is een analytische oplossing? Daar heb ik nog nooit van gehoord.

Waarom reken je sin, cos, arccos en log er wel toe en de LambertW functie niet?

Is dat omdat je de LambertW functie ingewikkelder vindt of zo?

Ik vind de log functie even ingewikkeld.

Of is het criterium: Een functie is analytisch als ie op de middelbare school wordt behandeld?

Om dat rare begrip te vermeiden zou ik de vraag zo stellen:

Is er een exacte expliciete oplossing x = ... voor het probleem?

peterdevis

Wel op te lossen" is natuurlijk relatief, "In dit geval kun je zo zien dat x=1 een oplossing is" kan je bezwaarlijk een waterdichte analytische oplosmethode noemen, al gaat het in dit geval natuurlijk wel op.

Het doel van analyse is juist om zoveel mogelijk functies op een exacte manier op te lossen.

Iemand die steeds nulpunten zoekt op een grafische manier (rekenmachine) zal de oplossing x=1 niet zomaar zien.

Iemand die analytisch een beetje onderlegt is, natuurlijk wel.

StrangeQuark

@PeterPan

Wat Rogier eigenlijk doet is net zoals een rekenmachine zou doen gokken op waar het nulpunt ligt, nou is onze Rogier een stuk slimmer dan de gemiddelde computer en ziet hij 1 vrij snel zonder dat hij heel veel mogelijkheden hoeft af te gaan. Feit blijft dat het volgens mij geen analytische oplossing is. Om een voorbeeld van een analytische oplossing te geven is:

4x-18=6 (Dus los dit analytisch op.)

4x-24=0 (Beide kanten -6)

4x=24 (Beide kanten +24, had ik ook in 1 stap kunnen doen uiteraard)

x=6. (Beide kanten delen door vier)

Dit is een analytische oplossing. Zonder het gokken (aldanniet een educated guess) kan je de oplossing exact, en dat is voornamelijk belangrijk, uitrekenen ook al heb je GEEN FLAUW BENUL wat x zou moeten zijn. Als x gelijk is aan 6 dan klopt de formule. Zonder dat je analytisch iets berekent zul je nooit weten of er ergens een exacte uitkomst uit komt. Kijk de computer kan bijvoorbeeld (als je het nummeriek benadert (een moeilijk woord voor gokken)) uitkomen op 6.0000012425 ofzo. (in dit geval waarschijnlijk niet omdat het erg simpel is) Maar is het nou exact 6, of is het inderdaat 6.000 enz. of is het misschien wel 6.001. Dit is waarom wiskundigen zich vaak in hun urn omdraaien als iets nummeriek opgelost moet worden. Het liefst zouden ze alles exact uitrekenen, daar is de wiskunde voor.

Ik weet dus niet hoe het zit met de Lambert W oplossing (geen tijd om me erin te verdiepen doe ik later wel, kmoet naar gitaarles) maar volgens mij is dat ook een benadering. Laat het dan duidelijk zijn dat je GEEN exacte oplossing hebt. Je hebt een prachtige benadering die waarschijnlijk akelig dicht in de buurt ligt, en voor de meeste doeleinden is dat meer dan genoeg, maar het is geen exacte benadering.

Snap je waarom daar een verschil tussen zit, en je als wiskundige liever een exacte oplossing hebt. (Wij natuurkundigen zijn daar niet zo rauwig om, en vinden het prima om te benaderen. Vaak verwaarlozen we toch meer dan je lief is)

PeterPan

StrangeQuark schreef:@PeterPan

Ik weet dus niet hoe het zit met de LambertW oplossing.

De LamberW fuctie is de inverse van f(x) = x.e^x.

Naar mijn mening net zo simpel of gecompliceerd als de inverse van f(x) = e^x. (De grafieken lijken ook heel veel op elkaar).

Als je x = log(2) een analytische oplossing noemt van 2^x = 10, dan mag je naar mijn mening x = LambertW(10.ln(2)) /ln(2)

een analytische oplossing noemen van 2^x = 10/x.

Ik heb nergens een definitie van "analytische oplossing" kunnen vinden.

Ik ken wel het begrip "elementaire oplossing". Daarbij mag je zelf kiezen wat je wel elementair noemt en wat niet.

StrangeQuark

Oh ok, ik dacht dat het een benadering was van een functie. Nee dan is het inderdaad een stuk analytischer dan ik dacht. Begrijp je wel wat ik verder bedoelde?

Rogier

PeterPan: de kreet "analytische oplossing" was een beetje onzorgvuldig inderdaad, ik bedoel eigenlijk algebraïsche oplossing.

Met "elementaire oplossingen" zal men wel oplossingen bedoelen die zijn opgebouwd uit elementaire functies en operators, maar zoals je zegt is het een beetje subjectief wat je elementair noemt.

Ik ben het beslist met je eens dat er geen essentieel verschil zit tussen een oplossing als 3pi.gif of e⁵, en dingen van "moeilijke" functies afhangen zoals de Lambert W-functie, Gamma of Riemann Zeta-functie.

PeterPan

Begrijp je wel wat ik verder bedoelde?

Ja, ik denk het wel.

Als een experiment aantoont dat een fysische constante in de eerste 7 decimalen overeenkomt met de theorie, dan is er geen mens meer die twijfelt aan de juistheid van de theoretische constante.

Als een wiskundige met een computer uitrekent dat er geen oplossingen zijn voor het probleem van Fermat in x,y en z en n>2 met x,y,z en n kleiner dan 10¹⁰⁰ dan zegt ie:

Ik heb eigenlijk nog niets bewezen.

De reden is denk ik dat de fysica sowieso een benadering is van de werkelijkheid.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

5x³+x²+logx=6

5x

Re: 5x

Re: 5x

Re: 5x

Re: 5x

Re: 5x

Re: 5x

Re: 5x

Re: 5x

Re: 5x

Re: 5x

Re: 5x

Re: 5x

Re: 5x

Re: 5x