Eerst wat inleidende definities:
Onder
gepreciseerde veeltermen verstaan we precies die formele uitdrukkingen die aan de onderstaande regels voldoen:
i. Alle reële getallen zijn gepreciseerde veeltermen.
ii. De reële variabele x is een gepreciseerde veelterm.
iii. Als A en B gepreciseerde veeltermen zijn, dan zijn (A) + (B) en (A) . (B) dat ook.
iv. Alleen die formele uitdrukkingen worden als gepreciseerde veeltermen beschouwd, die dat volgens de bovenstaande drie regels zijn.
(Voorbeeld: (x) + (5) en (5) + (x) zijn verschillende gepreciseerde veeltermen! Alleen gepreciseerde veeltermen die
als formele uitdrukking identiek zijn, rekenen we gelijk.)
Onder de
reële waarde rw(A(x)) van een gepreciseerde veelterm A(x) verstaan we de reële uitkomst die men verkrijgt wanneer men de waarde van de gepreciseerde veelterm op de voor reële veeltermen gebruikelijke wijze uitrekent.
We noemen een gepreciseerde veelterm A(x) alleen dan
verwant aan de gepreciseerde veelterm B(x) wanneer er gepreciseerde veeltermen E(x) en F(x) bestaan waarvoor rw(E(0)) = rw(F(0)) met rw(E(0)), rw(F(0)) [ongelijk] 0 zodanig dat er een stukje van A(x) is dat identiek is aan E(x) en dat bij vervanging door F(x) de gepreciseerde veelterm A(x) in B(x) omzet. Dit stukje van A(x) mag eventueel heel A(x) zijn.
Nu zoek ik een bewijs voor het volgende vermoeden:
Laat V(x) een gepreciseerde veelterm zijn zodanig dat:
\( \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\mbox{rw}(V(x))}{x} = Q \)
,
waarbij:
\( Q \neq 0 \)
.
Dan geldt voor alle aan de gepreciseerde veelterm V(x) verwante gepreciseerde veeltermen W(x) dat:
\( \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\mbox{rw}(W(x))}{x} = Q \)
,
waarbij:
\( Q \neq 0 \)
, met dezelfde uitkomst Q als bij V(x).
Zijn er aan deze formulering nog onduidelijkheden?
