Springen naar inhoud

Overerving van topologische ruimten


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 januari 2013 - 09:40

hallo,

Hoe kan ik nagaan of LaTeX en LaTeX , samenhang, wegsamenhang en locale samenhang overerft op quotienten.

En hoe zit het bij overerving op initiale en finale topologie?
Volstaat het dan om te bewijzen dat het overerft bij continue afbeeldingen?

Veranderd door Siron, 09 januari 2013 - 09:45


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 09 januari 2013 - 10:06

Begin eens met (lokale, weg) samenhang. Dat zou een relatief makkelijke moeten zijn.

Wat T1 betreft: dit zal niet altijd waar zijn. Vind wanneer het wel waar is en je hebt de weg naar een voorbeeld :). Hint: je equivalentieklassen moeten open/gesloten zijn (schrap wat niet past ;)) opdat het waar is.

En dan T0 nog: ook niet waar. Hint: doe iets met R en Q.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 januari 2013 - 10:16

Begin eens met (lokale, weg) samenhang. Dat zou een relatief makkelijke moeten zijn.

Wat T1 betreft: dit zal niet altijd waar zijn. Vind wanneer het wel waar is en je hebt de weg naar een voorbeeld :). Hint: je equivalentieklassen moeten open/gesloten zijn (schrap wat niet past ;)) opdat het waar is.

En dan T0 nog: ook niet waar. Hint: doe iets met R en Q.


Maar hoe bewijs ik het in het algemeen dan voor wegsamenhang, lokale samenhang en samenhang? Ik weet wel dat samenhang bewaard blijft onder continue surjecties en dus zou ik denken dat die ook overgaat op quotientvorming, maar voor lokale en weg niet echt meteen een idee.

Zou je het kunnen zeggen? (Ik heb nogal weinig tijd :P)

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 09 januari 2013 - 10:24

Ruwe schets dan ;): neem twee punten in je quotient. Kijk nu naar het invers beeld. Neem hier een pad. Neem nu het beeld van dat pad. Zie in (door continuïteit) dat dit je een pad geeft.

Lokaal: ken je volgende "een ruimte X is lokaal samenhangend asa alle componenten van open verzamelingen zijn open in X"?

En ben je iets met mijn hints voor T0 en T1?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 januari 2013 - 10:29

Ruwe schets dan ;): neem twee punten in je quotient. Kijk nu naar het invers beeld. Neem hier een pad. Neem nu het beeld van dat pad. Zie in (door continuïteit) dat dit je een pad geeft.

Lokaal: ken je volgende "een ruimte X is lokaal samenhangend asa alle componenten van open verzamelingen zijn open in X"?

En ben je iets met mijn hints voor T0 en T1?


Voor lokaal samenhangend die bewering ken ik inderdaad, het probleem is dat we de samenhangscomponenten in mijn cursus niet gedefinieerd wordt aan de hand van een equivalentierelatie.

Voor LaTeX denk ik dat ik het weet, in mijn cursus staat een voorbeeld van het feit dat Hausdorff eigenschap niet wordt overgeerfd door quotienten door een homeomorfisme met Sierpinski ruimte te maken, maar de Sierpinski ruimte is noch Hausdorff noch LaTeX dus dat is in orde.

En voor LaTeX , hmm ik zie niet direct een interessante equivalentierelatie.

EDIT: ik kan wel een continue surjectie vinden tussen die LaTeX niet bewaard. Is dat voldoende?

Veranderd door Siron, 09 januari 2013 - 10:35


#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 09 januari 2013 - 10:38

Gebruik volgende equivalentie: x ~ y asa x-y in Q. Bewering: denige opens in de quotient topology zijn de triviale opens. Neem een open O in X/~, en zij q de afbeelding die x afbeeldt op [x] (de equivalentieklasse). Nu is q^-1(O) open in R en bevat dus een interval, zeg I. Zij x nu willekeurig in R. Dan bestaan er een q in Q en een y in I zodat x = y+q. Dus x zit in [y] en dus q(x) = q(y). Kun je het afmaken?

Dat je die karakterisatie kent, helpt :). Zij O een open omgeving van een punt y in Y en C(y) de component van y in O. We willen dat C(Y) open is of dus C := f^-1[C(y)] is open. Enig idee hoe verder te gaan?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 januari 2013 - 10:48

Gebruik volgende equivalentie: x ~ y asa x-y in Q. Bewering: denige opens in de quotient topology zijn de triviale opens. Neem een open O in X/~, en zij q de afbeelding die x afbeeldt op [x] (de equivalentieklasse). Nu is q^-1(O) open in R en bevat dus een interval, zeg I. Zij x nu willekeurig in R. Dan bestaan er een q in Q en een y in I zodat x = y+q. Dus x zit in [y] en dus q(x) = q(y). Kun je het afmaken?

Dat je die karakterisatie kent, helpt :). Zij O een open omgeving van een punt y in Y en C(y) de component van y in O. We willen dat C(Y) open is of dus C := f^-1[C(y)] is open. Enig idee hoe verder te gaan?


Ik ben niet erg goed met die samenhangscomponenten, omdat die nogal vaag uitgelegd zijn in m'n cursus.

Maar de conclusie is allesinds dat wegsamenhang, samenhang en lokale samenhang bewaart moet blijven bij quotienten?

#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 09 januari 2013 - 10:53

Ja. Maar wat begrijp je niet aan bovenstaande? Of bedoel je dat je niet weet hoe verder te gaan met het bewijs? Kun je het voorbeeld afmaken?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 januari 2013 - 11:59

Ik weet niet echt hoe ik verder moet nee :(

#10

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 09 januari 2013 - 13:18

Dat voorbeeld is toch quasi af? Er volgt nu dat q(x) in O zit. De willekeurigheid van x geeft je nu de bewering. Akkoord?

Dan nu het lokaal : zij x een punt in C, dan bestaat er een open Ox zodat deze x bevat en en zodat Ox een deel is van f^{-1}(O). Als beeld van een samenhangende is f(Ox) samenhangend en "snijdt" C[y] in f(x). Nu is C[y] unie f(Ox) samenhangend en deel van O. Maar we weten dat C[y] een component is van O, dus moet dan wel gelden dat C[y] unie f(Ox) gelijk is aan C[y], of f(Ox) is een deel van C[y]. Dit zegt ons dat (door inverse beelden te nemen) Ox een deel is van C en dus is x een inwendig punt van C.
We zien nu dat alle punten inwendige punten zijn en C is open. Dus C[y] is open en Y is lokaal samenhangend daar alle componenten van open verzamelingen open zijn.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures