Springen naar inhoud

Homeomorfisme met de de cirkel


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 januari 2013 - 22:14

Hallo,

Stel gegeven LaTeX met de euclidische topologie. Als we op deze ruimten volgende equivalentierelatie zetten LaTeX als en slechts als één van de volgende voorwaarden voldaan zijn:
1. LaTeX
2. LaTeX
3. LaTeX
4. LaTeX

Dan bestaat er een homeomorfisme tussen LaTeX en de eenheidscirkel LaTeX met de euclidische topologie. Bestaat er een homeomorfisme tussen LaTeX en LaTeX ?

Ik ben eerst eens gaan kijken naar hoe de quotientverzameling eruit ziet. Het blijkt dat de equivalentieklasse van de bijzondere punten LaTeX en LaTeX gelijk zijn aan elkaar, dus stel deze equivalentieklasse voor door LaTeX . Voor elk ander willekeurig punt uit LaTeX van de vorm LaTeX waarbij LaTeX alle punten zijn verschillend van de 4 die ik hierboven heb gegeven geldt dat ze in hun equivalentieklasse slechts 1 element hebben, nl. zichzelf.

Dus LaTeX

Hoe ik het nu bezie is dat we eigenlijk de 4 hoekpunten (die 'bijzondere' punten) van het vierkant naar 1 punt hebben toegeknepen d.m.v equivalentierelatie naar 1 punt, dus ik vermoed dat LaTeX het middelpunt wordt en de anderen gewoon de punten van de cirkel. Ik vraag me echter af hoe ik een functie opstel tussen beide ruimten?

Bvd!

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 09 januari 2013 - 22:24

Je mist nog iets lijkt me. Met de rand van je vierkant gebeurt ook nog iets speciaals.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 januari 2013 - 22:38

Je mist nog iets lijkt me. Met de rand van je vierkant gebeurt ook nog iets speciaals.

Hm, ik was eens bijvoorbeeld gaan kijken naar een randpunt, bijvoorbeeld LaTeX . Dat is toch enkel equivalent met zichzelf?

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 09 januari 2013 - 23:29

Neen. Dat is equivalent met (1/2, 1). Immers is {y, y'} = {0, 1} en x=x'. Dus overstaande randen zijn geïdentificeerd.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 januari 2013 - 23:46

Neen. Dat is equivalent met (1/2, 1). Immers is {y, y'} = {0, 1} en x=x'. Dus overstaande randen zijn geïdentificeerd.


Je hebt natuurlijk volledig gelijk!
Dus LaTeX

#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 10 januari 2013 - 09:25

Goed :). Heb je nu een idee van de bewering (is dat overigens een vraag "bestaat er zo'n homeo" of is het een feit dat deze bestaat?)? Hiervoor is het handig om je eens voor te stellen wat je ruimte nu juist is uiteraard.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 januari 2013 - 11:38

Goed :). Heb je nu een idee van de bewering (is dat overigens een vraag "bestaat er zo'n homeo" of is het een feit dat deze bestaat?)? Hiervoor is het handig om je eens voor te stellen wat je ruimte nu juist is uiteraard.


Het is een feit dat er zo één bestaat. De voorstelling die ik nu heb is dat de 4 hoekpunten van de rechthoek zijn toegeknepen naar 1 punt, nl. het middelpunt van de cirkel. De overstaande zijden zijn ook geidentificeerd met elkaar dus die knijpen samen tot één lijn, dus krijg je volgens mij zoiets als een middelpunt met een diameter evenwijdig met de x-as respectievelijk y-as.

Ik kan helemaal mis zitten, het is maar wat ik intuitief denk.

Het is logisch dat een cirkel en een vierkant homeomorf zijn omdat je het vierkant continu kunt vervormen tot de cirkel, toch weet ik niet goed hoe dit in een functie te gieten.

Veranderd door Siron, 10 januari 2013 - 11:39


#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 10 januari 2013 - 11:48

Euhm, laten we even duidelijkheid scheppen: hebben we het hier over de cirkel of de schijf? De cirkel is de rand van een schijf...

Het is veel evidenter om in eerste instantie in te zien dat je een homeomorfisme hebt tussen X/~ en de torus (of dus S1 x S1).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 januari 2013 - 12:12

Euhm, laten we even duidelijkheid scheppen: hebben we het hier over de cirkel of de schijf? De cirkel is de rand van een schijf...

Het is veel evidenter om in eerste instantie in te zien dat je een homeomorfisme hebt tussen X/~ en de torus (of dus S1 x S1).


Hmm ok, maar ik weet niet goed hoe de torus beschreven wordt.

#10

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 10 januari 2013 - 12:18

Topologisch is dat gewoon S1 x S1. Laat ik dus herformuleren naar: X/~ is homeomorf met S1 x S1. Zou je dat kunnen bewijzen?

Overigens heb je niet gereageerd op mijn eerste opmerking.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#11

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 januari 2013 - 12:41

Topologisch is dat gewoon S1 x S1. Laat ik dus herformuleren naar: X/~ is homeomorf met S1 x S1. Zou je dat kunnen bewijzen?

Overigens heb je niet gereageerd op mijn eerste opmerking.


Het gaat inderdaad over cirkel, niet over de schijf.
Maar, om een concreet homeomorfisme te maken moet ik toch een beschrijving hebben, hoe moet ik anders de elementen uit mijn quotientruimte naar ergens sturen?

#12

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 10 januari 2013 - 12:51

Ik kom hierop terug. Laten we eerst eens kijken naar de tweede vraag: is S1 homeomorf met S1 x S1?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#13

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 januari 2013 - 13:59

Ik kom hierop terug. Laten we eerst eens kijken naar de tweede vraag: is S1 homeomorf met S1 x S1?

Ik vermoed van wel. De reden is dat de torus een deelruimte is van LaTeX en de cirkel van LaTeX , echter hebben die topologisch gezien volgens mij dezelfde eigenschappen dus denk ik dat er een homeomorfisme kan gemaakt worden.

Veranderd door Siron, 10 januari 2013 - 14:00


#14

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 10 januari 2013 - 15:54

Je gevoel bedriegt je. De cirkel is niet homeomorf met de torus. Hint: wat gebeurt er als je twee punten verwijdert?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#15

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 januari 2013 - 16:24

Je gevoel bedriegt je. De cirkel is niet homeomorf met de torus. Hint: wat gebeurt er als je twee punten verwijdert?

Dan lijkt het mij dat de cirkel niet weer wegsamenhangend is (want dan kan je nooit meer een weg maken tussen twee punten dat aan weerszijden van dat punt dat je hebt weggelaten zit)? De torus wel (omdat dit op 3-D niveau is).





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures