Springen naar inhoud

Hoeveelheid priemgetallen


  • Dit onderwerp is gesloten Dit onderwerp is gesloten

#1

Esthetisch

    Esthetisch


  • >100 berichten
  • 113 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 24 juli 2013 - 19:38

Ik wil graag focussen op de volgende tabel:

Geplaatste afbeelding

Achtergrond
Simpel gezegd valt met behulp van de tabel voor een gedefinieerd gedeelte van de getallenlijn te bepalen hoeveel van de getallen daarbinnen deelbaar zijn door de verschillende factoren, en daarmee dus ook(indirect, na een aantal extra bewerkingen) het aantal priemgetallen onder een X. Ik hoop dat e.e.a. duidelijk is. Het is dus gebaseerd op het idee dat:
- 1/2 van een aaneengesloten rij getallen deelbaar is door 2
- 1/3 van de getallen deelbaar is door 3
- 1/2 hiervan, dus 1/6 van het totaal, deelbaar is door zowel 2 als 3, dus al bij de vorige is meegerekend.

De tabel werkt als volgt: je begint bij een bepaalde kolom a, b, c, d of e. je telt de losse waarden erin op, en dit wordt een positief getal. Vervolgens ga je de waarden van de rijen in andere kolommen optellen. Deze worden omstebeurt van de beginwaarde afgetrokken en opgeteld. uiteindelijk komt uit de gehele tabel dus 1 eindwaarde.

Begin je bij a, dan krijg je a - b + c - d + e. deze wordt aangegeven met (hoofdletter!) A
Begin je bij b, dan krijg je b - c + d - e. deze wordt aangegeven met (hoofdletter!) B

De rijen die relevant zijn en dus moeten worden meegenomen zijn alle priemgetallen onder de wortel van het hoogste getal binnen het gedefinieerde deel van de getallenlijn, dus onder de wortel van X. Bij het berekenen van het aantal priemgetallen geldt ook dat alleen de breuken hoeven te worden meegenomen waarin het getal onder de streep kleiner dan X is, maar dat is nu niet relevant.

Binnen de tabel zijn een aantal verschillende fenomenen zichtbaar, en ook een aantal verschillende 'formules'. Er valt ook een aantal zaken over te zeggen. Helaas krijg ik niet voldoende grip erop om ook de conclusie te trekken waar ik naar opzoek ben. hier komt ik zo op terug. Eerst een aantal zaken die wel met zekerheid te zeggen zijn:
- A kan nooit groter worden dan 1. Immers zijn er altijd priemgetallen, die dus niet deelbaar zijn.
- a kan oneindig groot worden. dit blijkt uit de rieman zeta functie.
- B, C, D en E kunnen nooit groter worden dan 1. Om dezelfde reden als bij A.
- b kan oneindig groot worden. Een gedeelte van b valt te herschrijven als 1/2*(1/3+1/5+1/7+1/11). deze nadert dus de helft van a. ook valt er een deel te herschrijven als 1/3*(1/5+1/7+1/11), deze nadert dus 1/3e van a. Op deze manier nadert b ook a naarmate je grotere getallen neemt.
Immers is het verschil tussen a en b niet groter dan 1, omdat A niet groter dan 1 kan worden.
- voor elk nieuwe priemgetal verschijnt er ook weer een nieuwe kolom.
- a < b < c < d < e
- 1 > A > B > C > D > E > 0

ik durf niet met zekerheid te zeggen of c ook nog oneindig groot zal worden.

De Vraag
De vraag waar ik nu mee zit is de volgende: hoe gedraagt A zich wanneer je de kolommen gaat vermenigvuldigen. en wel op de hieropvolgende manier.
a * 2^0
b * 2^1
c * 2^2
d * 2^3
e * 2^4
Kunnen we nu bijvoorbeeld zeggen dat A niet kleiner kan worden dan -1? Of wordt A oneindig klein? Ik kan een hoop begrijpen maar dit gaat mijn petje te boven dus ik hoop dat iemand met een meer kennis over de materie hier iets over kan zeggen.
Destruction has an end. Creation doesn't.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 juli 2013 - 11:24

Bekijjk dit eens. Je methode is die van Legendre (als ik goed begrijp wat je wilt doen).

#3

Esthetisch

    Esthetisch


  • >100 berichten
  • 113 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 25 juli 2013 - 11:45

Bedankt voor de link, maar daar zie ik het niet bijstaan. Ik ben bekend met verschillende manieren het aantal priemgetallen te bepalen, maar hier is het me niet om te doen. Ik ben puur geÔnteresseerd in het gedrag van A na de beschreven vermenigvuldiging van kolommen. Misschien is de titel dan ook niet goed gekozen, maar die keuze is gemaakt omdat hiermee het meeste raakvlak is.

Maar misschien lees ik er overheen en is het antwoord er wel te vinden?
Destruction has an end. Creation doesn't.

#4

Esthetisch

    Esthetisch


  • >100 berichten
  • 113 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 29 juli 2013 - 19:50

Is er iemand die dit begrijpt en aan mij kan uitleggen? Ik zou er enorm mee geholpen zijn.
Destruction has an end. Creation doesn't.

#5

Esthetisch

    Esthetisch


  • >100 berichten
  • 113 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 30 juli 2013 - 21:15

Misschien maakt dit m'n vraag wat duidelijker:

Geplaatste afbeelding

Ik zoek de eventuele limiet, ofwel het domein/bereik van S(n)

Weet iemand deze? Of is er iemand die het met de computer kan narekenen voor de eerste pak m beet 10000 priemgetallen???? Ik hoef dan niet eens zozeer alle 10000 waarden, slechts een aantal maatgevenden...

Eventueel tegen een (kleine) vergoeding??

Veranderd door Esthetisch, 30 juli 2013 - 21:16

Destruction has an end. Creation doesn't.

#6

T.N.R.K

    T.N.R.K


  • 0 - 25 berichten
  • 14 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 03 september 2013 - 15:59

Is deze vraag nog actueel? Voordat ik er al te veel tijd in ga steken... ;)

#7

Esthetisch

    Esthetisch


  • >100 berichten
  • 113 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 06 september 2013 - 21:49

Ja wat mij betreft is het zeker nog Aktueel een antwoord op deze vraag kan bijzondere gevolgen hebben ik ben er dan ook nog steeds erg in geinterresseerd.
Destruction has an end. Creation doesn't.

#8

T.N.R.K

    T.N.R.K


  • 0 - 25 berichten
  • 14 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 06 september 2013 - 22:48


'Eventueel tegen een (kleine) vergoeding??'

Heb het antwoord ondertussen, ook inclusief bewijs, ben er eigenlijk in gedoken omdat ik het zelf een interessante opgave vond. Een vergoeding waar ik geïnteresseerd in ben is jouw antwoord op het Handelsreizigersprobleem.

Zou je die met me willen delen?

#9

Esthetisch

    Esthetisch


  • >100 berichten
  • 113 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 07 september 2013 - 12:48

'Eventueel tegen een (kleine) vergoeding??'

Heb het antwoord ondertussen, ook inclusief bewijs, ben er eigenlijk in gedoken omdat ik het zelf een interessante opgave vond. Een vergoeding waar ik geÔnteresseerd in ben is jouw antwoord op het Handelsreizigersprobleem.

Zou je die met me willen delen?

De oplossing voor het handelsreizigersprobleem wil ik zeker delen. Ik ben hier ook druk mee bezig, het hele algoritme staat op papier, de berekensnelheid bijna, maar het geraamte van het document is zeker af. Ik vind het alleen een beetje lastig om er echt een definitief document van te maken, er moeten natuurlijk geen fouten meer instaan, maar ook omdat het moeilijk is te bepalen wat er nu wel en niet in moet. ik heb namelijk een kloppende versie die ik niet kan controleren (n^8 duurt gewoon te lang) en een werkversie die in praktijk sneller is maar wel ingewikkelder en waarmee je veel sneller fouten maakt, deze werkt ook ongeveer n^8, alleen is die in praktijk vaak veel sneller omdat meer berekeningen kunnen worden uitgesloten, en deze is is wel uitvoerbaar en controleerbaar, maar geeftdus wel minder zekerheid. Maar zodra het af is zal ik hem wat mij betreft zeker met je delen, sterker nog, met iedereen op dit forum.

Als dat de enige vergoeding is die je vraagt komt me dat goed uit aangezien ik moet rondkomen van een uitkering. Je zult dan nog wel heel even geduld moeten hebben, maar het kan nooit lang meer duren.

Ik ben natuurlijk erg benieuwd naar welke limiet je dan gevonden hebt. Waarschijnlijk klinkt het belachelijk, maar met een bevredigende oplossing (limiet=0) denk ik namelijk dat het mogelijk moet zijn nog een groot wiskundig probleem op te lossen. Hoe precies, daar zou ik dan wel weer even in moet duiken, maar dat kan pas zodra het handelsreizgersprobleem goed op papier staat.
Destruction has an end. Creation doesn't.

#10

T.N.R.K

    T.N.R.K


  • 0 - 25 berichten
  • 14 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 07 september 2013 - 13:04

Prima, dan staat dat vast, ik ben benieuwd :)
Voor het oplossen van bovenstaand probleem heb ik één aanname moeten doen betreffende a, b, c, d, ...
'Begin je bij a, dan krijg je a - b + c - d + e. deze wordt aangegeven met (hoofdletter!) A'
De betekenis van a, b, c, d, ... was me niet geheel duidelijk, ik ben ervan uitgegaan dat a de optelsom van de getallen in kolom a was: 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ... . Dat werd niet duidelijk omschreven, ik hoop dat ik het juist geïnterpreteerd heb.

Anyway, het grappige is dat er na vermenigvuldiging van de kolommen voor A een vaste waarde uitkomt, namelijk 1/2. Dit is vrij makkelijk te controleren (handmatig) voor de eerste paar kolommen en rijen :)

Het bewijs geven is wat lastiger, ik neem aan dat je tevreden bent met het antwoord, zo niet dan zal ik het bewijs posten. Dat doe ik sowieso wel, maar niet nu x)

#11

Esthetisch

    Esthetisch


  • >100 berichten
  • 113 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 07 september 2013 - 13:11

Prima, dan staat dat vast, ik ben benieuwd :)
Voor het oplossen van bovenstaand probleem heb ik ťťn aanname moeten doen betreffende a, b, c, d, ...
'Begin je bij a, dan krijg je a - b + c - d + e. deze wordt aangegeven met (hoofdletter!) A'
De betekenis van a, b, c, d, ... was me niet geheel duidelijk, ik ben ervan uitgegaan dat a de optelsom van de getallen in kolom a was: 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ... . Dat werd niet duidelijk omschreven, ik hoop dat ik het juist geÔnterpreteerd heb.

Anyway, het grappige is dat er na vermenigvuldiging van de kolommen voor A een vaste waarde uitkomt, namelijk 1/2. Dit is vrij makkelijk te controleren (handmatig) voor de eerste paar kolommen en rijen :)

Het bewijs geven is wat lastiger, ik neem aan dat je tevreden bent met het antwoord, zo niet dan zal ik het bewijs posten. Dat doe ik sowieso wel, maar niet nu x)

Ja klopt, goed dat je jet zegt. Dat heeft te maken met het laagste priemgetal way je mee neemt. Als je begint met 1/2 en machten2 krijg je inderdaad 0,5. Dat is ook zo als je start met 1/3 en machten3 neemt. En wanneer je start met 1/5e en machten 5 neemt. Althans als ik het me goed herinner.

De specifieke situatie waar ik de limiet van zoek is waarbij je start met 1/3, maar machten2 neemt om kolommen mee te vermenigvuldigen.
Destruction has an end. Creation doesn't.

#12

T.N.R.K

    T.N.R.K


  • 0 - 25 berichten
  • 14 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 07 september 2013 - 13:21

Ah, ik nam aan dat je gewoon de situatie na 1/2 en machten 2 wou weten...
Maar het gaat dus om starten met 1/3 en machten van 2.
Het is dan de vraag of ik iets niet snap of een verkeerde aanname doe, want het lijkt mij dat er als antwoord gewoon 0 uitkomt met deze beginvoorwaarde: namelijk 1/2 minder dan wat er uit zou komen bij 1/2 en machten van 2.

Let op: er zit wel een fout in je tabel! De waarden in vak D11 kloppen niet...

#13

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 07 september 2013 - 13:25

@ T.N.R.K. Geldt je bewijs ook voor de limiet voor n nadert tot oneindig van S(n) in berichtje # 5?

Volgens mij is die limiet namelijk afhankelijk van de manier waarop je de tabel doorloopt, en door te werken met S(n) kies je voor één bepaalde manier.

#14

T.N.R.K

    T.N.R.K


  • 0 - 25 berichten
  • 14 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 07 september 2013 - 13:28

@ T.N.R.K. Geldt je bewijs ook voor de limiet voor n nadert tot oneindig van S(n) in berichtje # 5?

Volgens mij is die limiet namelijk afhankelijk van de manier waarop je de tabel doorloopt, en door te werken met S(n) kies je voor één bepaalde manier.


Als je bedoelt of je ook bij oneindig veel termen nog steeds 1/2 krijgt als antwoord, bij begingetal 1/2 en vermenigvuldiging met machten van 2, dan ja, het blijft altijd 1/2.

#15

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 07 september 2013 - 13:40

Als je bedoelt of je ook bij oneindig veel termen nog steeds 1/2 krijgt als antwoord, bij begingetal 1/2 en vermenigvuldiging met machten van 2, dan ja, het blijft altijd 1/2.


Ik vind dat gepraat aan de hand van die onduidelijk gedefinieerde tabel nogal verwarrend, vandaar dat ik naar berichtje # 5 verwees waar de zaak wel scherp gedefinieerd is. De vraag is dan eenvoudig wat onderstaande limiet is:

LaTeX .





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures