Fourierreeks coëfficiënten
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
-
- Berichten: 39
Fourierreeks co
Goedendag
Ik heb een vraag in verband met de coëfficiënten van een fourierreeks.
Op deze link: http://pagines.uab.cat/dcampos/sites/pagines.uab.cat.dcampos/files/PRE_81_066201.pdf
wordt er de fourierreeks van de differentiaalvergelijking: u''(t)+u(t)+lambda*f(t). Dan wordt er een fourierreeks(3) opgesteld, dan gaan ze die coëfficiënten zoeken door dit in te vullen in de differentiaalvergelijking, maar dan snap ik niet hoe ze aan formule(4) komen.
Als ik dit invul bekom ik:
Sum(αm*cos(2(2m-1)πt/T)-Sum(αm*(4(2m-1)^2π^2/T^2)*cos(2(2m-1)*π*t/T)+lambda*f(α1*cos(2πt/T)=0
Ik zou absoluut niet weten hoe je hier uw coefficieten uit moet bepalen aangezien er 2 reeksen staan en 1 gewone functie. In de tekst zeggen ze ook dat met dan integreert van 0 tot 2π en dat men ook vermenigvuldigt met cos(2πt/T). Ik snap ook niet waarom ze dat doen.Dus mijn vraag is simpel gezegd, hoe komt men aan de formule(4) bij de bovenstaande link
Alvast bedankt
benno321
Ik heb een vraag in verband met de coëfficiënten van een fourierreeks.
Op deze link: http://pagines.uab.cat/dcampos/sites/pagines.uab.cat.dcampos/files/PRE_81_066201.pdf
wordt er de fourierreeks van de differentiaalvergelijking: u''(t)+u(t)+lambda*f(t). Dan wordt er een fourierreeks(3) opgesteld, dan gaan ze die coëfficiënten zoeken door dit in te vullen in de differentiaalvergelijking, maar dan snap ik niet hoe ze aan formule(4) komen.
Als ik dit invul bekom ik:
Sum(αm*cos(2(2m-1)πt/T)-Sum(αm*(4(2m-1)^2π^2/T^2)*cos(2(2m-1)*π*t/T)+lambda*f(α1*cos(2πt/T)=0
Ik zou absoluut niet weten hoe je hier uw coefficieten uit moet bepalen aangezien er 2 reeksen staan en 1 gewone functie. In de tekst zeggen ze ook dat met dan integreert van 0 tot 2π en dat men ook vermenigvuldigt met cos(2πt/T). Ik snap ook niet waarom ze dat doen.Dus mijn vraag is simpel gezegd, hoe komt men aan de formule(4) bij de bovenstaande link
Alvast bedankt
benno321
-
- Berichten: 7.068
Re: Fourierreeks co
Dat staat er volgens mij niet. Lees het stuk tekst tussen formule 3 en 4 nog eens rustig door en zoek op wat "the orthogonality of the trigonometric functions" inhoudt.In de tekst zeggen ze ook dat met dan integreert van 0 tot 2π en dat men ook vermenigvuldigt met cos(2πt/T).
-
- Berichten: 39
Re: Fourierreeks co
Moet ik dan het inproduct <cos(2(2n-1)*pi*t/T),f(α1*cos(2πt/T)>/<cos(2(2n-1)*pi*t/T),cos(2(2n-1)*pi*t/T)> uitrekenen en dan is het inproduct gedefinieerd door int(f(t)*g(t)*dt) met grenzen 0 tot pi/2?
-
- Berichten: 7.068
Re: Fourierreeks co
\(\cos(a) \cdot \cos(b) = \frac{1}{2} (\cos(a+b) + \cos(a-b))\)
dus:\(\cos(m x) \cdot \cos(n x) = \frac{1}{2} (\cos((m+n)x) + \cos((m-n)x))\)
Als \(|m|=|n|\) dan is er een constante term. In alle andere gevallen heb je twee cosinussen.Als je de integraal van een cosinus neemt over een geheel aantal periodes dan zal deze integraal nul zijn. Hieruit volgt dat als je de integraal neemt van de vermenigvuldiging van twee cosinussen dat hier ook nul uit komt. De vermenigvuldiging is immers ook te schrijven als de sommatie van twee cosinussen.
Hierop is een uitzondering: Als \(|m|=|n|\) krijg je een constante term en deze zorgt voor een integraal ongelijk aan nul. Deze eigenschap kun je benutten.