Springen naar inhoud

Complexe getallen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Anne B.

    Anne B.


  • >100 berichten
  • 232 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 januari 2006 - 21:10

Is ii :P :P ? Ik dacht van niet, aangezien [wortel]ii2 = [wortel]i-1 = :roll:-i = 4 :P 1
Aangezien |ii| :) :D , is ii dit ook niet.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 januari 2006 - 21:13

i^i is wel reŽel, raar maar waar. Verder machten trouwens niet, dus i^i^i^... bijvoorbeeld al niet meer.

i kan je schrijven als e^(i pi/2) dus i^i = (e^(i pi/2))^i = e^(-pi/2)

#3

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 10 januari 2006 - 21:58

Is ii  :P  :P ? Ik dacht van niet, aangezien  [wortel]ii2 = [wortel]i-1 = :roll:-i = 4 :P 1
Aangezien |ii|  :)  :D , is ii dit ook niet.


Heb je de definitie van z^w gezien (en geleerd) voor z,w complex?

#4

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 januari 2006 - 22:16

Nog een opmerking:

Aangezien |ii|  :)  :P

|z| :P :P (en [grotergelijk]0) voor ieder complex getal z.

Als z = a+b[.]i (met a,b :roll: :D) dan |z| = :P(a2+b2)
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#5

Anne B.

    Anne B.


  • >100 berichten
  • 232 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 januari 2006 - 10:01

Dankje voor de reacties,
@TD! : jouw uitleg snap ik, dacht wel dat er zo een manier was maar had er niet meer aan gedacht
@Safe: neen, dat hebben wij niet gezien
@Rogier: klopt er dan iets niet in mijn redenering dat ik uitkom dan |i^i| :roll: :P ?

#6

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 januari 2006 - 10:11

@Rogier: klopt er dan iets niet in mijn redenering dat ik uitkom dan |i^i| :)  :P ?

Ik denk het, hoe kom je bij dat idee dan?
In ieder geval geldt voor elk complex getal z dat |z| :roll: :P en :P 0 (zie definitie van modulus hierboven).

En als z,w :P :D dan is zw ook een complex getal (tenzij z=w=0, dan is het niet gedefinieerd).
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#7

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 januari 2006 - 10:17

i^i is wel reŽel, raar maar waar. Verder machten trouwens niet, dus i^i^i^... bijvoorbeeld al niet meer.

Ligt er aan hoe je i^i^i^... interpreteert, want i^(i^(i^i)) is niet reŽel maar ((i^i)^i)^i weer wel (en zo iedere voortgezette macht van die laatste vorm met een even aantal i's)
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#8

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 11 januari 2006 - 11:15

i kan je schrijven als e^(i pi/2) dus i^i = (e^(i pi/2))^i = e^(-pi/2)

onjuist bewijs

Heb je de definitie van z^w gezien (en geleerd) voor z,w complex?

correcte opmerking

zw = PER DEFINITIE ew.ln(z)
Dus ii = ei.ln(i) met ln(i) = ln|i| + i.arg(i) = i.:D/2.
Dus ii = e-:roll:/2.
Dat deze uitkomst overeenkomt met die van TD! is puur toeval.

Zie de volgende ramp:
bereken (ii)i.
Een makkelijke oplossing is
(ii)i = ii.i = i-1 = -i.
De juiste oplossing is:
(ii)i = ei.log(ii) = e(i.e-:)/2) en dat is garandeer ik je :P -i.
!!!!!!!!!!

#9

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 januari 2006 - 11:28

Zie de volgende ramp:  
bereken (ii)i.
Een makkelijke oplossing is
(ii)i = ii.i = i-1 = -i.
De juiste oplossing is:
(ii)i = ei.log(ii) = e(i.e-:P/2) en dat is garandeer ik je  :D -i.  
!!!!!!!!!!

Weet je dat laatste heel zeker? :roll:
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#10

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 11 januari 2006 - 11:40

Weet je dat laatste heel zeker? :P

Fouten maken is onmenselijk :P
Dan maar een iets trivialer voorbeeld:
(e2 :) i)i = e2 :P i.i = e-2 :roll: is een foute afleiding.
(e2 :P i)i = ei.ln(e2 :D i) = e0 = 1.

Dit lijkt ook meer op jouw foute afleiding

i kan je schrijven als e^(i pi/2) dus i^i = (e^(i pi/2))^i = e^(-pi/2)


#11

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 11 januari 2006 - 13:12


#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 januari 2006 - 14:16

i^i is wel reŽel, raar maar waar. Verder machten trouwens niet, dus i^i^i^... bijvoorbeeld al niet meer.

Ligt er aan hoe je i^i^i^... interpreteert, want i^(i^(i^i)) is niet reŽel maar ((i^i)^i)^i weer wel (en zo iedere voortgezette macht van die laatste vorm met een even aantal i's)

Ik had het uiteraard over die eerste manier van schrijven, anders is er geen sprake van opbouwende machten natuurlijk.

De rekenregel dat (z^a)^b gelijk is aan z^(ab) is in het complexe geval (in het algemeen) niet meer geldig, de correcte regel is dan z^(ab)e^(2bk :roll: i). In mijn afleiding is hierin k = 0 genomen, b was i. Het blindelings toepassen van de eerstgenoemde regel kan inderdaad tot fouten leiden, de notatie was dan ook onzorgvuldig, het resultaat echter juist.

#13

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 11 januari 2006 - 15:06

zw = PER DEFINITIE ew.ln(z)
Dus ii = ei.ln(i) met ln(i) = ln|i| + i.arg(i) =  i.:roll:/2.
Dus ii = e-:P/2.
Dat deze uitkomst overeenkomt met die van TD! is puur toeval.


Juist, hier wilde ik naar toe.
Maar de log (complex) is een meerwaardige functie, zodat z^w eveneens meerwaardig (TD merkt dit in tweede instantie ook op).
Dus: log(z)=ln|z|+i*Arg(z)+i*k2π,
of ook log(z)=ln|z|+i*arg(z), waarbij arg(z)=Arg(z)+k2π, Arg(z) is hier de zogenaamde hoofdwaarde.

#14

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 11 januari 2006 - 15:20

Ligt er aan hoe je i^i^i^... interpreteert

Nee.
abc is per definitie a (bc).

Waarom zou i^i^i^...^i niet heel vaak reeel kunnen zijn?
Bewijs?

De rekenregel dat (z^a)^b gelijk is aan z^(ab) is in het complexe geval (in het algemeen) niet meer geldig, de correcte regel is dan z^(ab)e^(2bk :D i).

Hier snap ik niets van. Wat staat daar nou.

En als z,w  :P  :roll:   dan is zw ook een complex getal (tenzij z=w=0, dan is het niet gedefinieerd)

De zaak ligt wel ietje gecompliceerder. zw is slechts gedefinieerd op :) zonder een pad van 0 naar oneindig dat met elke cirkel om 0 slechts 1 snijpunt heeft.

#15

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 januari 2006 - 15:26


Ligt er aan hoe je i^i^i^... interpreteert

Nee.
abc is per definitie a (bc).

Dat schreef ik niet, maar Rogier - waarom je mij dan 'quote' is me een raadsel. Verder lijkt me dat ook geen definitie, maar een conventie, maar het zou best kunnen.
Hoe ik het noteerde is, in jouw veronderstelling van vastliggende definitie, wel de manier hoe ik het bedoelde.

Waarom zou i^i^i^...^i niet heel vaak reeel kunnen zijn?Bewijs?

Dit heb ik niet bewezen, maar als interessant weetje van Mathworld onthouden.


De rekenregel dat (z^a)^b gelijk is aan z^(ab) is in het complexe geval (in het algemeen) niet meer geldig, de correcte regel is dan z^(ab)e^(2bk :P i).

Hier snap ik niets van. Wat staat daar nou.

Wat hier staat is de uitbreiding van de rekenregel voor een macht tot een macht naar het complexe geval, rekening houdend met het feit dat e^z periodisch is met periode 2 :D i. Het volgt ook uit het feit dat Ln(e^z) = z + 2k :roll: i, waar ik met Ln de complexe natuurlijke logaritme bedoel (om een onderscheid te maken met de reŽle).





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures