eigenwaarde λ
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
-
- Berichten: 6
eigenwaarde λ
Zij A een (m*m) matrix. Dan is λ een eigenwaarde van A als en slechts als det(A-λ*1Im) = 0
Bewijs:
λ is een eigenwaarde van A
<=> er is minstens één (x1,...xm) element van IRm met ((x1,...,xm) =/= (0,...,0) zo dat
(x1) (0)
(A-λ*1Im) * (....) = (..)
(xm) (0)
<=> (A-λ*1Im) is niet inverteerbaar
<=>det(A-λ*1Im) = 0
Waarom mag men bij de tweede equivalentie besluiten dat (A-λ*1Im) niet inverteerbaar is?
Alvast bedankt voor de hulp.
Bewijs:
λ is een eigenwaarde van A
<=> er is minstens één (x1,...xm) element van IRm met ((x1,...,xm) =/= (0,...,0) zo dat
(x1) (0)
(A-λ*1Im) * (....) = (..)
(xm) (0)
<=> (A-λ*1Im) is niet inverteerbaar
<=>det(A-λ*1Im) = 0
Waarom mag men bij de tweede equivalentie besluiten dat (A-λ*1Im) niet inverteerbaar is?
Alvast bedankt voor de hulp.
-
- Berichten: 7.072
Re: eigenwaarde λ
Stel B=(A-λ*1Im) en dat B inverteerbaar is. Vermenigvuldig beide kanten met de inverse van B.
-
- Berichten: 6
Re: eigenwaarde λ
(x1) (0) (x1) (0) (x1) (0)
B (....) = (..) <=> B^-1 B (....) = B^-1 (..) <=> (....) = (...)
(xm) (0) (xm) (0) (xm) (0)
En omdat de eigenvector niet gelijk aan de nulvector is, mag je besluiten dat B niet inverteerbaar is.
Denk dat dit wel klopt.
Dankje
B (....) = (..) <=> B^-1 B (....) = B^-1 (..) <=> (....) = (...)
(xm) (0) (xm) (0) (xm) (0)
En omdat de eigenvector niet gelijk aan de nulvector is, mag je besluiten dat B niet inverteerbaar is.
Denk dat dit wel klopt.
Dankje