machtsverheffing met een complexe macht

Nabuko Donosor

Hoe wordt

\(r^{a+bi}\)

gedefinieerd als

\(a,b,r \in \mathbb{R}\)

?

Ik stel deze vraag omdat ik wil bewijzen dat de Riemann zetafunctie geen nulpunten heeft op de lijn Re s = 1.

dbv

ND

The Black Mathematician

\(r^{a+bi}:=e^{(a+bi)\log{r}}\)

TD

Je kan een getal r steeds schrijven als een e-macht, namelijk

\(r = e^{\ln r} \)

.

Verder hebben we voor de exponentiële functie:

\(\exp \left( z \right) = e^z = e^{x + iy} = e^x \left( {\cos y + i\sin y} \right)\)

We combineren en verkrijgen:

\(r^{a + ib} = r^a r^{ib} = r^a e^{ib\ln r} = r^a \left( {\cos \left( {b\ln r} \right) + i\sin \left( {b\ln r} \right)} \right)\)

EvilBro

Hoe wordt
\(r^{a+bi}\)
gedefinieerd als
\(a,b,r \in \mathbb{R}\)
?

Volgens mij met deze functies:

\(z^a = {e^{a (w + 2 k \pi i)}|w = \ln(z), k \in \zz } \)

\(\ln(z) = \ln(|z|) + i \arg(z) \)

\(e^z = e^{x+i y} = e^x (\cos(y) + i \sin(y))\)

Nabuko Donosor

heel erg bedankt allemaal !!

Wetenschapsforum