x = ½ sin-¹(y sin(cos-¹(y-¹))) + ½pi y = ?

Petit Jean

geachte lezers,

wie kan mij de inverse functie geven (voor evt. x > 0, y > 0) voor:

x = ½ arcsin(y sin(arccos(1/y))) + ½pi

dus y = .....?

alvast bedankt, ik kom er niet uit!

PeterPan

cos(arccos(x)) = x

dan is sin(arccos(x)) =

(1 - cos²(arccos(x))) =

(1 - x²)

dan is arcsin(y sin(arccos(1/y))) = arcsin(y

(1 - 1/y²) )

x = ½ arcsin(y sin(arccos(1/y))) + ½pi = ½ arcsin(y

(1 - 1/y²) ) + ½pi.

Dan is 2x' = 2dx/dy =

\( \frac{z + \frac{1}{y^2z}}{\sqrt(1-y^2z^2)}\)

met z =

(1 - 1/y²)

Dan is x' = dx/dy = ½ y/

((y²-1)(2-y²))

en

x =

½ y/

((y²-1)(2-y²))dy + C.

Dit ding is nog wel te primitiveren, maar het wordt een heel groot ding.

Dus eerst even naar het definitiegebied kijken.

x = ½ arcsin(y [wortel] (1 - 1/y²) ) + ½pi.

Voor -1<y<1 bestaat x niet want onder de wortel mag geen negatief getal komen te staan.

arcsin is gedefinieerd op [-1,1], dan moet -1 [wortel] y[wortel](1-1/y²) [wortel] 1 zijn,

dan is y²(1-1/y²) [wortel] 1 en dan is

y²

2

en dus -

2

y

[wortel]2

Kortom voor y geldt: -

2

y < -1 òf 1 <y

[wortel]2

Neem het bereik 1 <y

[wortel]2.

Het is eenvoudig na te gaan dat x stijgt als functie van y.

Definitiegebied van x wordt dan ([pi]/2,3[pi]/4].

is nog niet klaar ...

TD

\(\begin{array}{l} x = \frac{1}{2}\arcsin \left( {y\sin \left( {\arccos \left( {\frac{1}{y}} \right)} \right)} \right) + \frac{\pi }{2} = \frac{1}{2}\arcsin \left( {y\sqrt {1 - \frac{1}{{y^2 }}} } \right) + \frac{\pi }{2} 2x - \pi = \arcsin \left( {y\sqrt {1 - \frac{1}{{y^2 }}} } \right) \Leftrightarrow \sin \left( {2x - \pi } \right) = - \sin \left( {2x} \right) = y\sqrt {1 - \frac{1}{{y^2 }}} y^2 \left( {1 - \frac{1}{{y^2 }}} \right) = y^2 - 1 = \sin ^2 \left( {2x} \right) \Leftrightarrow y^2 = 1 + \sin ^2 \left( {2x} \right) \Leftrightarrow y = \pm \sqrt {1 + \sin ^2 \left( {2x} \right)} \end{array}\)

Volgens mij geldt dit voor \(\frac{\pi }{4} < x < \frac{{3\pi }}{4}\).

Petit Jean

ik miste de stap:

\(y\sin \left( {\arccos \left( {\frac{1}{y}} \right)} \right)} = y\sqrt {1 - \frac{1}{{y^2 }}}\)

Ik zal m'n goniometrie stevig moeten verbeteren.

Er wordt van mij verwacht dat ik het onder de knie heb.

super super veel bedankt in ieder geval!

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

x = ½ sin-¹(y sin(cos-¹(y-¹))) + ½pi y = ?

x =

Re: x =

Re: x =

Re: x =