de integraal van een tan-functie
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
-
- Berichten: 244
de integraal van een tan-functie
Hallo,
Ik beheers de wiskundecodes nog niet, dus ik heb het nog maar even met paint gedaan. Zie dus de afbeelding voor mijn probleem.
De integraal heb ik op die manier dus bepaald, maar toch klopt deze niet. Waar heb ik eigenlijk een fout gemaakt, want ik zie hem niet
Alvast bedankt
EDIT sin2(blokje) moet sin^2(blokje) zijn , voor het '='teken, onder 'gebruikt:'
Ik beheers de wiskundecodes nog niet, dus ik heb het nog maar even met paint gedaan. Zie dus de afbeelding voor mijn probleem.
De integraal heb ik op die manier dus bepaald, maar toch klopt deze niet. Waar heb ik eigenlijk een fout gemaakt, want ik zie hem niet
Alvast bedankt
EDIT sin2(blokje) moet sin^2(blokje) zijn , voor het '='teken, onder 'gebruikt:'
- Berichten: 24.578
Re: de integraal van een tan-functie
Het probleem zit in die vereenvoudiging van je breuk, waar je deze opeens weglaat: dat klopt niet (let op de tekens!).
Gebruik het feit dat sin²a+cos²a = 1 om die breuk te vereenvoudigen (splitsen).
Gebruik het feit dat sin²a+cos²a = 1 om die breuk te vereenvoudigen (splitsen).
\(\int {2\tan ^2 \left( {1 - 3u} \right)} du = \int {2\frac{{\sin ^2 \left( {1 - 3u} \right)}}{{\cos ^2 \left( {1 - 3u} \right)}}} du = 2\int {\frac{{1 - \cos ^2 \left( {1 - 3u} \right)}}{{\cos ^2 \left( {1 - 3u} \right)}}} du = 2\int {\frac{1}{{\cos ^2 \left( {1 - 3u} \right)}}} du - 2\int {du} \)
Je eerste integrand is nu bijna de afgeleide van de tangens en de laatste is eenvoudig:\(2\int {\frac{1}{{\cos ^2 \left( {1 - 3u} \right)}}} du - 2\int {du} = - \frac{2}{3}\int {\frac{1}{{\cos ^2 \left( {1 - 3u} \right)}}} d\left( {1 - 3u} \right) - 2\int {du} = - \frac{2}{3}\tan \left( {1 - 3u} \right) - 2u + C\)
-
- Berichten: 244
Re: de integraal van een tan-functie
Haha, wilde net het topic wijzigen omdat ik de fout ook net inzag. Je uitleg snap ik wel, maar ik zit pas in 6 atheneum en daar behoort breuksplitsing nog niet tot de stof. Dit is echter wel een integraal die we moeten kunnen maken, dus is er misschien een andere manier om op het antwoord te komen?
- Berichten: 24.578
Re: de integraal van een tan-functie
Ik heb geen echte breuksplitsing toegepast (breuk splitsen door ontbinding van noemer en dan de onbepaalde coëfficiënten zoeken) maar gewoon gebruik gemaakt van het feit dat (a+b)/c = a/c + b/c om de breuk in twee delen te schrijven.
\(\frac{{\sin ^2 \left( {1 - 3u} \right)}}{{\cos ^2 \left( {1 - 3u} \right)}} = \frac{{1 - \cos ^2 \left( {1 - 3u} \right)}}{{\cos ^2 \left( {1 - 3u} \right)}} = \frac{1}{{\cos ^2 \left( {1 - 3u} \right)}} - \frac{{\cos ^2 \left( {1 - 3u} \right)}}{{\cos ^2 \left( {1 - 3u} \right)}} = \frac{1}{{\cos ^2 \left( {1 - 3u} \right)}} - 1\)
-
- Berichten: 244
Re: de integraal van een tan-functie
En waarom is dit antwoord gelijk aan:
\( \frac{2}{3}\tan \left( {3u - 1} \right) - 2u + C \)
- Berichten: 24.578
Re: de integraal van een tan-functie
Dat staat toch al in m'n eerste reply? We hadden dusflamey schreef:En waarom is dit antwoord gelijk aan:
\( \frac{2}{3}\tan \left( {3u - 1} \right) - 2u + C \)
\(2\int {\frac{1}{{\cos ^2 \left( {1 - 3u} \right)}} - 1} du = 2\int {\frac{1}{{\cos ^2 \left( {1 - 3u} \right)}}} du - 2\int {du} \)
Die tweede integraal is nu duidelijk -2u, de eerste integraal is een 1/cos² en dat is de afgeleide van een tangens. Alleen staat er geen u, maar 1-3u. Je pas dan je du aan zoals ik deed of je doet het met een substitutie.-
- Berichten: 244
Re: de integraal van een tan-functie
Misschien zal ik duidelijker moeten zijn:
waarom geldt het volgende
waarom geldt het volgende
\(- \frac{2}{3}\tan \left( {1 - 3u} \right) - 2u + C = \frac{2}{3}\tan \left( {3u - 1} \right) - 2u + C \)
- Berichten: 24.578
Re: de integraal van een tan-functie
Omdat voor de tangens (net als voor de sinus) geldt: -tan(x) = tan(-x).
-
- Berichten: 244
Re: de integraal van een tan-functie
ok hartstikke bedankt voor de hulp, sorry voor die laatste vraag. Die was inderdaad best wel voor de hand liggend.
Dit is misschien wel offtopic, maar weet je toevallig hoe je de oppervlakte van een parameterkromme kan berekenen?
Dit is misschien wel offtopic, maar weet je toevallig hoe je de oppervlakte van een parameterkromme kan berekenen?
- Berichten: 824
Re: de integraal van een tan-functie
Probeer eens met y²=2px. Dit is een typisch voorbeeld. Laat ons eens zien hoe ver je komtflamey schreef:ok hartstikke bedankt voor de hulp, sorry voor die laatste vraag. Die was inderdaad best wel voor de hand liggend.
Dit is misschien wel offtopic, maar weet je toevallig hoe je de oppervlakte van een parameterkromme kan berekenen?
-
- Berichten: 244
Re: de integraal van een tan-functie
huh een parameterkromme is toch dat op een (x,y)-assenstelsel een verband wordt gelegd tussen een x(t) en een een y(t). Dat zie ik niet terug in jouw formule? Of zie ik iets fout?
- Berichten: 824
Re: de integraal van een tan-functie
huh een parameterkromme is toch dat op een (x,y)-assenstelsel een verband wordt gelegd tussen een x(t) en een een y(t). Dat zie ik niet terug in jouw formule? Of zie ik iets fout?
In mijn voorbeeld is p de parameter.
- Berichten: 24.578
Re: de integraal van een tan-functie
Dat kan bijvoorbeeld met de formulehuh een parameterkromme is toch dat op een (x,y)-assenstelsel een verband wordt gelegd tussen een x(t) en een een y(t). Dat zie ik niet terug in jouw formule? Of zie ik iets fout?
\(\frac{1}{2}\int\limits_a^b {xdy - ydx} \)
Hierin kies je a en b zodanig dat de kromme precies één keer in de positieve zin doorlopen wordt.In het huiswerk-forum is er een centrale topic over integralen, daar vind je dit ook terug (volgens mij ook met een uitgewerkt voorbeeld, je moet maar even zoeken).
-
- Berichten: 244
- Berichten: 24.578
Re: de integraal van een tan-functie
Heb je het over mijn formule? Die kan je hierop toepassen.flamey schreef:Maar ik bedoel parameterkrommes zoals:
x(t)= 2cos 4t
y(t)= 4sin 3t
Maar heb je het gebied al geschetst? Waarvan wil je precies de oppervlakte?