Springen naar inhoud

matrices


  • Log in om te kunnen reageren

#1


  • Gast

Geplaatst op 30 augustus 2004 - 13:36

Hoe zit een matric fundamenteel in elkaar? Ik weet wel hoe er mee te werken (spil-determinanten regel etc.), maar ik begrijp de fundamentele werking er niet van. Stel je heb 4 vgl. met 4 onbekenden, verwerkt dit in een matric. Maar hoe komt met tot de oplossing? Stelt met een onbekende gelijk aan 3 andere onbekendes, en deze vervangt men dan in de andere vgl'en etc etc ?

Iemand die de fundamentele werking van matrices kan uitleggen?

Dankt u.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

einstone

    einstone


  • >100 berichten
  • 166 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 augustus 2004 - 14:43

Een matrix is een blok getalletjes, dat weten we allemaal waarschijnlijk wel. Maar hoe onstaat die, wat zegt die enzovoort...
Stel je hebt een stelsel van bijvoorbeeld 3 vergelijkingen, 3 onbekenden:

a_11x + a_12y + a_13z = 0
a_21x + a_22y + a_23z = 0
a_31x + a_32y + a_33z = 0

je kan dit stelsel oplossen door x, y en z te zoeken, dit doe je door bijvoorbeeld een veelvoud van de ene vergelijking bij de ander op te tellen, een vergelijking vermeningvuldingen meteen constante verschillend van 0... zo probeer je tot een oplossing te komen voor x, y en z
Voor de gemakkelijkheid zet men dan deze getallen a_ij in een matrix, die is dus van de vorm

[a_11 a_12 a_13 0]
[a_21 a_22 a_23 0]
[a_31 a_32 a_33 0]

hierop kan je dan dezelfde bewerkingen uitvoeren als op de vergelijkingen, je telt dus een veelvoud van de ene rij op bij de andere, je vermenigvuldigt een rij met een constante verschillend van 0... het doel is om een eenheidsmatrix te krijgen, dit hoeft niet altijd zo te zijn, en is afhankelijk van wat voor soort oplossing je krijgt (juist 1, oneindig veel, of geen)
dit komt op het zelfde neer als die spilmethode, die spilmethode is heel handig, maar je weet eigenlijk niet waar je mee bezig bent, je rekent maar wat met getalletjes...

#3

Bert

    Bert


  • >250 berichten
  • 718 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 augustus 2004 - 18:39

Als je matrices en het oplossen van stelsel lineaire vergelijkingen fundamenteel wilt aanpakken dan moet je lineaire algebra bestuderen.
Je begint met vectoren die aangeduid worden met a, b etc (2, 3 of nog meer dimensionaal). Op de vector ruimte worden lineaire afbeeldingen gedefinieerd: dat zijn afbeeldingen A die van vectoren vectoren maken (niet perse indezelfde ruime en niet perse van de zelfde dimensie) zodanig dat A(ax+by)=aAx+bAy.
Het blijkt dat de lineaire afbeelding helemaal vastligt als je van alle eenheidsvectoren (in een 3 dimensionale ruimte zijn dat bijvoorbeeld de vectoren (1,0,0), (0,1,0) en (0,0,1) opgeeft wat het beeld is. Als je de vectoren als kolomvectoren schrijft en dan kun je zo'n lineaire afbeelding helemaal identificeren met een matrix. De beeldvector Ax van een willekeurige vector x kun je met de bekende matrix vermenigvuldiging maken. Het product AB van 2 matrices A en B correspondeert met de lineaire afbeelding die van iedere vector x een vector A(Bx) maakt etc.

Het stelsel lineaire vergelijkingen komt overeen met de vraag welke vector(en) x afgebeeld worden op een constante vector b en de vergelijkingen kun je dus samenvatten als Ax=b.
Als de matrix vierkant is (dat wil zeggen dat de dimensie van x en Ax gelijk is) en bovendien geldt dat verschillende vectoren altijd op verschillende vectoren worden afgebeeld dan bestaat ook de inverse afbeelding A^-1 en de oplossing van de vergelijking is dus x=(A^-1)b

#4


  • Gast

Geplaatst op 30 augustus 2004 - 19:08

je kan dit stelsel oplossen door x, y en z te zoeken, dit doe je door bijvoorbeeld een veelvoud van de ene vergelijking bij de ander op te tellen


Kan je dit illustreren met een voorbeeld als dat kan?

dankt u

#5

einstone

    einstone


  • >100 berichten
  • 166 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 augustus 2004 - 22:13

Een heel simpel voorbeeld:
je hebt het stelsel
2x + 3y = 0 (1)
-x + y = 0 (2)

je wil nu x en y kennen, dan kan je bijvoorbeeld vergelijking (1) optellen met 2 maal vergelijking (2), dan krijg je:

2x + 3y + 2(-x +y) =0
<-> 2x+ 3y -2x +2y = 0
<-> 3y +2y = 0
<-> 5y = 0

y =0 blijkt een oplossing te zijn, dan kan je dit in vullen in bijvoorbeeld (2), dan blijkt dat x=0 ook een oplossing is van het stelsel. ik heb hier nu per ongeluk een stelsel verzonnen waarbij dat x en y allebei 0 zijn, maar is de werkwijze duidelijk? je telt dus gewoon een veelvoud van de ene vergelijking op bij de andere, en zo kom je (in dit geval, en das meestal de bedoeling) iets uit waar nog maar 1 onbekende in staat... kijk dan waar die aan gelijk moet zijn, en vul die in in een van je andere vergelijkingen en kom zo je andere onbekende uit. maar nu ben ik een beetje aan het afwijken, ik ben nu eerder aan het beschrijven hoe je een stelsel oplost, maar daar komt het in principe, bij het rijherleiden van een matrix ook op neer... natuurlijk kan je met een matrix veel meer dan dat alleen doen, en daarmee zit je dan inderdaad middenin de lineaire algebra...

#6


  • Gast

Geplaatst op 01 september 2004 - 18:52

Hoi,

http://intranet.wood...ry/Mtrcsndd.htm

geeft de interessante geschiedenis van matrices, en ook intuitieve inzichten.

sdk.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures