[Wiskunde] Rotatiematrix?

shengeveld

Hi,

Ik heb 2 vectoren (3D) die starten in dezelfde oorsprong. De ene vector heet Pa=[xa,ya,za]. De andere is Pb=[xb,yb,zb]. Door 3 rotaties (om 3 assen, maakt me niet uit welke) is Pa uit te lijnen (c.q. gelijk te maken aan) met Pb. Deze rotaties liggen vast in de rotatiematrix (3x3) genaamd R. Dus

Pb=R*Pa

De 9 elementen van R zijn functies van sinussen en cosinussen van de 3 verdraaiingen om bovengenomede assen. Zou je kiezen voor ZYX Euler hoeken dan zijn de elementen van R:

r11:=cos(alpha)*cos(beta);

r12:=cos(alpha)*sin(beta)*sin(theta)-sin(alpha)*cos(theta);

r13:=cos(alpha)*sin(beta)*cos(theta)+sin(alpha)*sin(theta);

r21:=sin(alpha)*cos(beta);

r22:=sin(alpha)*sin(beta)*sin(theta)+cos(alpha)*cos(theta);

r23:=sin(alpha)*sin(beta)*sin(theta)-cos(alpha)*cos(theta);

r31:=-sin(beta);

r32:=cos(beta)*sin(theta);

r33:=cos(beta)*cos(theta);

De bekenden zijn dus Pa en Pb, en de onbekenden de 3 hoeken (alpha, beta, theta) in R.

Pb=R*Pa levert 3 vergelijkingen (en er zijn 3 onbekenden: alpha, beta, theta).

MAPLE verslikt zich helaas in het oplossen van de 3 vergelijkingen naar alpha, beta, theta.

IS ER EEN SLIMMERE MANIER OM alpha, beta, theta expliciet te bepalen?

Groeten Sytse

Rogier

Moet je per se een combinatie van rotaties om de X, Y en Z as hebben?

Het zou denk ik makkelijker zijn om het als één rotatie te zien om de as die loodrecht op Pa en Pb staat (dus het uitwendig product Pa x Pb). De rotatiehoek kun je dan bepalen via het inproduct <Pa,Pb>.

Rogier

Misschien is dit nog makkelijker trouwens: als rotatie-as neem je gewoon het gemiddelde van de twee (genormaliseerde) vectoren, en om die as draai je hem 180^o.

Eerst even kijken of ze niet al in elkaars verlengde liggen, want in dat geval hoef je niks te doen (toch roteren zou dan overigens geen verschil maken, maar als ze precies elkaars tegengestelden zijn zou je rotatie-as [0,0,0] worden, en dat wil je waarschijnlijk voorkomen).

sirius

Wat is uitlijnen?

Ik vraag me inderdaad af of je drie hoeken nodig hebt. Waarschijnlijk is je stelsel overbepaald doordat je 3 hoeken probeert uit te rekenen. Wat bedoel je met uitlijnen?

Rogier

Wat is uitlijnen?

Ik neem aan dat hij bedoelt: in het verlengde leggen van. Dus Pa zodanig draaien dat

\(P_a = \lambda \cdot P_b (\mathrm{met} \lambda\in\rr, \lambda>0)\)

sirius

Je stelsel is overbepaald. Pa heeft geen drie vrijheidsgraden, maar 2!

Er is namelijk een vergelijking die je vergeten bent: de lengte van Pa blijft gelijk.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[Wiskunde] Rotatiematrix?

[Wiskunde] Rotatiematrix?

Re: [Wiskunde] Rotatiematrix?

Re: [Wiskunde] Rotatiematrix?

Re: [Wiskunde] Rotatiematrix?

Re: [Wiskunde] Rotatiematrix?

Re: [Wiskunde] Rotatiematrix?