vergelijking omvormen tot y=...

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer

Bericht 17-05-'06, 18:29

bibliotheek357

Gebruikersavatar
Berichten: 310

vergelijking omvormen tot y=...

Ik probeer een vergelijking in mijn grafisch rekenmachine in te tikken, maar daarvoor moet ik de vergelijking omvormen tot y=..

Ik heb echter problemen bij het omvormen en zou wel wat hulp kunnen gebruiken:

(y-2x).(x²+y²)+2x²-y²=0 luidt de opgave.

Ik heb de haken uitgewerkt, alles zonder y aan de andere kant gezet, y afgezonderd aan de linkerkant zodat ik dit bekom:
\( y=\frac{2x³-2x²}{x²+y²-2xy-y} \)
hier is x²+y²-2xy in de noemer gelijk aan (x-y)² en je zou 2x in de teller buiten haken kunnen brengen, maar verder zit ik vast.. Dus y zou in het rechterlid moeten verdwijnen, terwijl de functie y=... is. Anders kan ik het niet intikken in mijn grm (TI-93 Plus).
Omhoog

Bericht 17-05-'06, 20:50

Friendly Ghost

Gebruikersavatar
Berichten: 222

Re: vergelijking omvormen tot y=...

Ik heb het even in maple bekeken en er zijn meerdere oplossingen (lange vergelijkingen) mogelijk. Dit kan je al zien als je bijvoorbeeld gaat kijken wat de waarde van y is voor x=0. Jouw formule herleidt dan tot y³-y²=0, wat y=0 (2 keer) en y=1 als antwoord geeft. Dit betekent dat je geen eenduidige formule y=f(x) kunt formuleren.

Bijbehorende functie ziet er zo uit:

Afbeelding
"If you're scared to die, you'd better not be scared to live"
Omhoog

Bericht 17-05-'06, 21:08

bibliotheek357

Gebruikersavatar
Berichten: 310

Re: vergelijking omvormen tot y=...

hmm, ik denk dat ik het wel tot een poolfunctie kan omzetten, ik ga eens met de transformatieformules die vgl omzetten, dan kan ik dat wel intikken (als dat lukt tenminste)
Omhoog

Bericht 17-05-'06, 21:14

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: vergelijking omvormen tot y=...

In poolcoördinaten is het mogelijk om de vergelijking in de vorm \(r = r(\theta)\) te krijgen, dus r als een functie van \(\theta\)
Omhoog

Bericht 17-05-'06, 21:28

bibliotheek357

Gebruikersavatar
Berichten: 310

Re: vergelijking omvormen tot y=...

ik heb net de hele bewerking uitgeschreven en ingetikt op mijn grm, maar hij maakt steken langs alle kanten en opeens doet em een rechte naar rechtvanonder.. Ik denk niet dat het werkt met poolcoordinaten. Ik ben ook zo goed als zeker dat ik geen fout in mijn tussenstappen heb gemaakt.
Omhoog

Bericht 17-05-'06, 21:38

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: vergelijking omvormen tot y=...

Ik zal werken in (r,t) in plaats van met theta. We hebben de cartesische vergelijking en de transformatieformules:
\(\left( {y - 2x} \right)\left( {x^2 + y^2 } \right) + 2x^2 - y^2 = 0 \to \left{ \begin{array}{l} x = r\cos t y = r\sin t \end{array} \right\)
We vullen in en werken uit, brengen een factor r² buiten:
\(\begin{array}{l} \left( {r\sin t - 2r\cos t} \right)\left( {r^2 \cos ^2 t + r^2 \sin ^2 t} \right) + 2r^2 \cos ^2 t - r^2 \sin ^2 t = 0 \left( {r\sin t - 2r\cos t} \right)\left( {r^2 } \right) + 2r^2 \cos ^2 t - r^2 \sin ^2 t = 0 r^3 \sin t - 2r^3 \cos t + 2r^2 \cos ^2 t - r^2 \sin ^2 t = 0 r^2 \left( {r\sin t - 2r\cos t + 2\cos ^2 t - \sin ^2 t} \right) = 0 r = 0 \vee r\sin t - 2r\cos t + 2\cos ^2 t - \sin ^2 t = 0 \end{array}\)
Uit r² = 0, dus r = 0 volgt reeds dat de oorsprong voldoet. Dat was ook te zien door (x,y) = (0,0) te controleren, dat voldoet. Met de andere factor krijgen we:
\(r = \frac{{\sin ^2 t - 2\cos ^2 t}}{{\sin t - 2\cos t}} = \frac{{3\cos ^2 t - 1}}{{2\cos t - \sin t}} \to r = r\left( t \right)\)
Omhoog

Bericht 17-05-'06, 21:45

bibliotheek357

Gebruikersavatar
Berichten: 310

Re: vergelijking omvormen tot y=...

uw bewerking blijkt te kloppen met de tekening van friendly ghost..

Dan zal ik waarschijnlijk toch een fout in mijn bewerking gemaakt hebben :roll:

Ik kwam namelijk het volgende uit:
\( r=\frac{2(\sin²(t)-\cos²(t))}{\sin(t).\cos(t)+\sin²(t)-2\cos³(t)-2\cos(t).\sin²(t)} \)
bij mij klopt het begin ook nog, maar er wordt vanalles bij de tekening toegevoegd..
Omhoog

Bericht 17-05-'06, 21:49

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: vergelijking omvormen tot y=...

Dan zul je iets verkeerd gedaan hebben. Begrijp je mijn uitwerking?

Als je toch echt wil weten wat er bij jou misging, zul je je uitwerking moeten laten zien.
Omhoog

Bericht 17-05-'06, 22:18

bibliotheek357

Gebruikersavatar
Berichten: 310

Re: vergelijking omvormen tot y=...

ik deed:

(r.sin(t)-2r.cos(t)).(r²cos²(t)+(r².sin²(t)))+2r²cos²(t)-2r²sin²(t)=0

=> r³sin(t).cos(t)+r³.sin³(t)-2r³cos³(t)-2r³cos(t).sin²(t)+2r².cos²(t)-2r²sin²(t)=0

=> r².(...) = 0

=> r² laten vallen, want 0/r² = 0 als ik dit overbreng

=> r.sin(t).cos(t)+r.sin²(t)-2r.cos³(t)-2r.cos(t).sin²(t)+2cos²(t)-2sin²(t)=0

vervolgens alles zonder r naar rechterlid overbrengen

daarna r.(...)=rechterlid

=>
\( r=\frac{2(\sin²(t)-\cos²(t))}{\sin(t).\cos(t)+\sin²(t)-2\cos³(t)-2\cos(t).\sin²(t)} \)
Omhoog

Bericht 17-05-'06, 22:19

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: vergelijking omvormen tot y=...

bibliotheek357 schreef:ik deed:

(r.sin(t)-2r.cos(t)).(r²cos²(t)+(r².sin²(t)))+2r²cos²(t)-2r²sin²(t)=0

[...]
Terwijl er gewoon y² stond, niet 2y² :wink:
Omhoog

Bericht 17-05-'06, 22:25

bibliotheek357

Gebruikersavatar
Berichten: 310

Re: vergelijking omvormen tot y=...

TD! schreef:
bibliotheek357 schreef:ik deed:

(r.sin(t)-2r.cos(t)).(r²cos²(t)+(r².sin²(t)))+2r²cos²(t)-2r²sin²(t)=0

[...]
Terwijl er gewoon y² stond, niet 2y² :wink:
de fouten in het begin zijn het dodelijkst :roll:
Omhoog

Bericht 17-05-'06, 22:29

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: vergelijking omvormen tot y=...

Op het einde is even dodelijk (fout is fout...), maar in het begin zijn ze vooral vervelend :roll: (van voor af aan opnieuw :P )
Omhoog
Reageer

Terug naar “Wiskunde”