Het is een kwestie van uitschrijven; het is niet een stap die je de eerste keer direct in 1 keer ziet. De notatie die je boek heeft gebruikt vind ik afschuwelijk, daarom heb ik het als onderstaand opgeschreven. Bij jouw is
\( f = 0\) buiten het interval
\( [a,b] \subset \rr \). Ik schrijf
\( E[X] \) voor de verwachting van
\( X \). De variantie
\( Var(X) \) van de stochast
\( X \) is gedefinieerd als
\(Var(X) := E[(X - E[X])^2] ,\)
zodat
\(Var(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x - E[X])^2 f(x) dx = \int_{-\infty}^{\infty} (x^2-2xE[X]+(E[X])^2)f(x)dx =\)
\(= \int_{-\infty}^{\infty} x^2f(x)dx - 2E[X]\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx + (E[X])^2\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx = E[X^2] - 2(E[X])^2 + (E[X])^2 = E[X^2] - (E[X])^2.\)
Hierbij is dus gebruikt
\( \mu_x = E[X] := \int_{-\infty}^{\infty} xf(x)dx \) per definitie en er geldt ook dat
\( E[X^2] = \int_{-\infty}^{\infty} x^2f(x)dx \) ten gevolge van een kleine stelling. Ook is gebruikt dat
\( \int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx = 1 \) als kenmerk van de kansdichtheid.
N.B. Er zijn continue stochasten waarvoor de verwachting/variantie niet bestaat.
