Het ordenen van drie a's, drie b's en drie c's

Math

We willen drie a's, drie b's en drie c's op een rij zetten zodat er een rij van negen letters ontstaat.

Op hoeveel manieren kunnen we dat doen als er in die rij geen deelrij voor mag komen waarin drie gelijke letters achter elkaar staan?

EvilBro

Math schreef:We willen drie a's, drie b's en drie c's op een rij zetten zodat er een rij van negen letters ontstaat.

Op hoeveel manieren kunnen we dat doen als er in die rij geen deelrij voor mag komen waarin drie gelijke letters achter elkaar staan?

(a,a,a,b,b,b,c,c,c):

\({9 choose 3} {6 choose 3} {3 choose 3} = 1680\)

aaa->d -> (d, b,b,b,c,c,c):

\({7 choose 1} {6 choose 3} {3 choose 3} = 140\)

aaa->d, bbb->e -> (d,e,c,c,c):

\({5 choose 1} {4 choose 3} {3 choose 3} = 20\)

aaa->d, bbb->e, ccc->f -> (d,e,f):

\({3 choose 1} {2 choose 1} {1 choose 1} = 6\)

i.p.v. aaa->d, kan je ook kiezen voor bbb of ccc -> dus maal 3.

bij de derde optie zijn ook 3 mogelijkheden.

Totaal aantal mogelijkheden:

1680-3*420+3*20-6 = 1314

Math

Dit had ik anders:

Ik zeg, volgens het principe van inclusie en exclusie, dat je moet kijken naar de voorwaarden.

definieer voorwaarde A voor de a's achter elkaar, B voor de b's achter elkaar en C voor de c's achter elkaar.

Dan:

geen voorwaarde - 3*één voorwaarde + 3*twee voorwaarden - drie voorwaarden

(vergelijk met een Venndiagram waar je dingen anders dubbeltelt als het overlapt)

Dus:

Alles - (A of B of C) + (AB of AC of BC) - ABC ofwel

9! - 3*6*7! + 3*36*5! - 3! = 285114 mogelijkheden.

Kijk eens of je er wijs uit komt en of het logisch klinkt.

Ben benieuwd...

Brinx

Math, als je voor het totale aantal mogelijkheden 9! neemt, kom je dan niet op veel te veel mogelijke rijtjes uit? Als voorbeeld:

het rijtje:

a1,a2,a3,b1,b2,b3,c1,c2,c3

zou een verschillend rijtje zijn dan:

a2,a1,a3,b1,b2,b3,c1,c2,c3

terwijl dit binnen de vraag gezien hetzelfde rijtje zou moeten zijn. Ik heb hier even indices gebruikt zodat je kunt zien dat je op deze manier het rijtje "a,a,a,b,b,b,c,c,c" op vele manieren kunt maken.

Math

Brinx schreef:Math, als je voor het totale aantal mogelijkheden 9! neemt, kom je dan niet op veel te veel mogelijke rijtjes uit? Als voorbeeld:

het rijtje:

a1,a2,a3,b1,b2,b3,c1,c2,c3

zou een verschillend rijtje zijn dan:

a2,a1,a3,b1,b2,b3,c1,c2,c3

terwijl dit binnen de vraag gezien hetzelfde rijtje zou moeten zijn. Ik heb hier even indices gebruikt zodat je kunt zien dat je op deze manier het rijtje "a,a,a,b,b,b,c,c,c" op vele manieren kunt maken.

Ik weet op deze vraag van mij ( raadsel 38 ) het antwoord niet zeker.

Ik denk echter wel dat je moet zien dat aaabbbccc anders is als aaabbbccc, met het verschil dat de eerste a nu de tweede is geworden en andersom.

Nogmaals: dat denk ik.

Als je daarvan uitgaat, klopt dan mijn verdere beredenering wel?

EvilBro

9! - 3*6*7! + 3*36*5! - 3! = 285114 mogelijkheden.

Ik heb nog geen tijd gehad om je methode te bekijken. Ik heb echter wel het volgende bedacht en daar komt een ander antwoord uit. Stel dat wat ik hierboven heb gezegd klopt, dus dat als er geen onderscheid gemaakt wordt tussen de verschillende a's, b's en c's. Dan zijn er dus 1314 mogelijkheden.

Als we in deze mogelijkheden alle a's vervangen door a1,a2 en a3 dan zijn er 6 verschillende mogelijkheden om die 3 a's te ordenen. Er zijn dan dus 6*1314 mogelijkheden. Dit kun je natuurlijk ook doen met de b's en de c's. Ik verwacht dan dus 6*6*6*1314 = 283824 mogelijkheden. Dit is een ander aantal dan jij had gevonden.

Math

Inderdaad ja, ik wacht je antwoord even af als je het hebt kunnen bekijken.

EvilBro

Inderdaad ja, ik wacht je antwoord even af als je het hebt kunnen bekijken.

Ik ben er uit. De methode is goed, maar de uitwerking niet. Je hebt:

9! - 3*6*7! + 3*36*5! - 3!

Deze laatste term moet niet 3!, maar 216*3! zijn. Elke groepje van 3 heeft immers 6 realisaties (en 6*6*6=216). Met deze aanpassing komt er hetzelfde uit als bij mij.

Math

Ah ja, inderdaad.

Toch wel apart dat onze verschillende wegen leiden tot hetzelfde. Het is vaak een heel andere aanpak...

Wat denk je nu, zou je de a's als hetzelfde moeten zien, of als a1, a2 en a3?

(Natuurlijk idem voor de b's en de c's.)

EvilBro

Toch wel apart dat onze verschillende wegen leiden tot hetzelfde. Het is vaak een heel andere aanpak...

Het wordt pas vervelend als onze verschillende wegen leiden naar verschillende antwoorden.

Wat denk je nu, zou je de a's als hetzelfde moeten zien, of als a1, a2 en a3?

(Natuurlijk idem voor de b's en de c's.)

Ik denk dat het om niet te onderscheiden a's gaat (voornamelijk omdat de vraag het heeft over letters en twee a's zijn niet te onderscheiden in het resultaat), maar ik denk dat de vraag ook op de andere manier is te interpreteren.

TD

Voor 'anagrammen' zoals deze gebruik ik altijd permutaties, maar qua uitwerking gaat dat op hetzelfde neerkomen als EvilBro vermits je eenvoudig van combinaties over kan gaan op permutaties. Het aantal onderscheidbare anagrammen bestaande uit n letters waarbij k1,...,kn de aantallen zijn van de afzonderlijke letters wordt, gegeven door:

\(\frac{{n!}}{{k_1 ! \cdots k_n !}}\)

Met dezelfde redenering geeft dat:

\(\frac{{9!}}{{3!3!3!}} - 3\frac{{7!}}{{3!3!}} + 3\frac{{5!}}{{3!}} - 3! = 1314\)

Math

Je gaat dus ook uit van het idee dat de drie a's allemaal hetzelfde zijn.

TD

Je gaat dus ook uit van het idee dat de drie a's allemaal hetzelfde zijn.

Inderdaad, anders zou ik het logischer gevonden hebben om van a tot i te gaan (9 letters).

Voor de berekening zou dat in mijn geval neerkomen op alle k_i's gelijk aan 1 te nemen (als je de a's, b's en c's onderling verschillend veronderstelt).

Het is zoals de anagrammen van 'kok', het verwisselen van de k's levert geen onderscheidbaar woord op, vandaar dat het aantal niet 3! is, maar 3!/(2!1!).

Tenzij je expliciet aangeeft dat de a's onderling onderscheidbaar zijn (i.e. a1,a2,a3 bvb, en ook voor de b's en c's) zou ik het toch zo interpreteren.

Math

Ja, klopt. Duidelijk.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Het ordenen van drie a's, drie b's en drie c's

Het ordenen van drie a's, drie b's en drie c's

Re: Het ordenen van drie a's, drie b's en drie c's

Re: Het ordenen van drie a's, drie b's en drie c's

Re: Het ordenen van drie a's, drie b's en drie c's

Re: Het ordenen van drie a's, drie b's en drie c's

Re: Het ordenen van drie a's, drie b's en drie c's

Re: Het ordenen van drie a's, drie b's en drie c's

Re: Het ordenen van drie a's, drie b's en drie c's

Re: Het ordenen van drie a's, drie b's en drie c's

Re: Het ordenen van drie a's, drie b's en drie c's

Re: Het ordenen van drie a's, drie b's en drie c's

Re: Het ordenen van drie a's, drie b's en drie c's

Re: Het ordenen van drie a's, drie b's en drie c's

Re: Het ordenen van drie a's, drie b's en drie c's