He Andy, nu dat TD blijkbaar weg is, kan ik het misschien toch es wagen
:
Jij zoekt de hermitische toegevoegde van
\(\frac{\partial}{\partial{x}} \)
?
Wel, laat die operator T zijn
Wij zoeken
\(T^{*} \)
zodat
\(<v,T(w) > = <T^{*}(v),w> \forall v,w\)
of expliciet
\(\int v \frac{\partial{\bar{w}}}{\partial{x}} = \int T^{*}(v) \bar{w}\)
bekijk dat linkerlid nu nog es beter, je kan dit met partiële integratie herschrijven als
\([v \bar{w}]^{+\infty}_{-\infty} - \int \frac{\partial{v}}{\partial{x}} \bar{w}\)
nu is de eerste term nul omdat die functie v voor oneindig naar nul streeft, een wiskundige zou daar moeilijk om doen (ik dus ook) maar quantummechanica is blijkbaar gekaapt door fysici en die hebben daar geen probleem mee blijkbaar...
\(= - \int \frac{\partial{v}}{\partial{x}} \bar{w}\)
laat ons nu es kijken wat we al weten : wij hebben dus blijkbaar opgelegd dat
\(T^{*}\)
zodanig moet zijn dat
\(= - \int \frac{\partial{v}}{\partial{x}} \bar{w}= \int T^{*}(v) \bar{w} \)
het komt allemaal netjes uit dus als we stellen
\( T^{*}(v)=- \frac{\partial{v}}{\partial{x}}\)
deze operator heeft dus als hermitisch toegevoegde zijn tegengestelde
Het verdient zeker een opmerking dat dit impliceert :
\(i \frac{\partial}{\partial{x}} \)
heeft zichzelf als hermitisch toegevoegde en is dus hermitisch
Je moet maar reply'en als je meer wil weten.