Springen naar inhoud

limiet sin x/x


  • Log in om te kunnen reageren

#1

moscone

    moscone


  • 0 - 25 berichten
  • 2 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 06 augustus 2006 - 14:13

Waarom nadert sin x/x, voor x gaande naar 0, naar 1?
Aangezien sinus van 0, 0 is, krijgen we toch een onbepaaldheid, 0/0?

Is er een volgende stap of zie ik iets verkeerd?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 augustus 2006 - 14:16

Als je de regel van L'Hopital kent, is het antwoord eenvoudig.
Voor een intuÔtievere aanpak, zie mijn post in deze topic.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

moscone

    moscone


  • 0 - 25 berichten
  • 2 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 06 augustus 2006 - 14:27

Bedankt.
:) Met L'Hopital blijft dus enkel cos x over, duidelijk.
De andere uitleg ook even gelezen, ook duidelijk, maar had ik niet gevonden met de zoekfunctie.

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 augustus 2006 - 14:45

Je krijgt als je het 'gewoon invult' inderdaad een onbepaaldheid, maar dat belet dus niet dat de uitkomst een reŽel getal kan zijn :)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

evilbu

    evilbu


  • >250 berichten
  • 792 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 augustus 2006 - 16:08

Inderdaad, anders zou het echt te gek worden :

LaTeX
en het is toch ook een nul op nul onbepaaldheid?

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 augustus 2006 - 16:10

Inderdaad, of nog meer 'elementair':

LaTeX

:)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9899 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 06 augustus 2006 - 21:05

Waarom nadert sin x/x, voor x gaande naar 0, naar 1?
Aangezien sinus van 0, 0 is, krijgen we toch een onbepaaldheid, 0/0?

Is er een volgende stap of zie ik iets verkeerd?


Hier gaat het nu om, je kijkt niet naar x=0 maar naar x=0.1, x=0.01, x=0.001 enz in deze volgorde, eveneens naar x=-0.1, x=-0.01, x=-0.001 enz.
Vul die maar eens in!
Maw het gaat om omgevingen van x=0 uitgezonderd 0 zelf en wat doet dan de functie sin(x)/x.
Een goed beeld levert natuurlijk de grafiek van deze functie.
Het begrip omgeving is wiskundig streng gedefinieerd, raadpleeg hiervoor de literatuur.
Hier heb ik het intuitief gebruikt.
De breuk 0/0 is niet bepaald maar de limiet van sin(x)/x voor x nadert tot 0 zowel van de positieve als negatieve kant is (exact) 1.
Het bewijs hiervan is de moeite waard en maakt natuurlijk gebruik van het begrip omgeving.

Opm: Het woord grens voor limiet is misschien iets duidelijker.

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 augustus 2006 - 22:33

Safe heeft gelijk dat de grafiek hier vaak een duidelijk inzicht in verschaft. Let wel dat het "aflezen op een grafiek" uiteraard niet geldt als bewijs van een limiet. In x = 0 is f(x) = sin(x)/x niet gedefinieerd (om evidente reden) maar de grafiek toont wel duidelijk het gedrag rond x = 0.

Geplaatste afbeelding
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

evilbu

    evilbu


  • >250 berichten
  • 792 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 augustus 2006 - 22:35

En dan nog even opmerken dat

LaTeX

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 augustus 2006 - 22:39

Als moscone dit niet kan volgen, dit steunt op de definitie van de afgeleide:

LaTeX

Kanttekening: als je het gebruik van afgeleiden 'toelaat', dan kan je eigenlijk ook L'Hopital gebruiken. Omdat deze limiet vaak als een 'standaardlimiet' gebruikt wordt, wil men deze gewoonlijk aantonen zonder gebruik te maken van L'Hopital (en dus afgeleiden); vandaar andere (bvb 'meetkundige') argumenten (zie eerdere link).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures