Een limiet zonder l'Hopital

Jekke

Wie kan me helpen met deze limiet uit te rekenen zonder l'Hopital? (Of een hint, is miss leuker.) (Het resultaat is -15)

\(\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{{\left( 1 + \frac{15}{x} \right)}^{15} - 1}{- \frac{15}{x}}\)

Brihaspati

Een hint, je kunt de de teller met het omgekeerde van de noemer vermenigvuldigen. Je kunt ook deze regel toepassen:

\( \lim_{n \to \infty} n(f(a+ 1/n) - f(a)) = f'(a)\)

evilbu

Ga over op een nieuwe variabele x, met t=frac{1}{x}

\(\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{{\left( 1 + \frac{15}{x} \right)}^{15} - 1}{- \frac{15}{x}}=\lim_{x\rightarrow 0+} \frac{{\left( 1 + 15 x\right)}^{15} - 1}{- 15 x}\)

De teller ziet er uit als :

\(1+15 (15 t)+105 (15 t)^2+\cdots-1\)

Die twee constante termen (

\(1\)

en

\(-1\)

) heffen mekaar op, we delen

\( t\)

weg uit teller en noemer, en klaar zijn we : de limiet is -15

Merk op dat ik schaamteloos weiger om die teller helemaal uit te werken, al die andere termen doen er toch niet toe. 8)

Jekke

Bedankt, ik zie het, eigenlijk was dat het enige dat ik nog niet had uitgeprobeerd, namelijk omdat ik wat problemen had om de eerste termen uit het hoofd te bedenken en ook omdat ik zelf eerst de substitutie 15/x had geprobeerd, wat totaal verkeerd afliep.

evilbu

Wel, volledig terzijde, en trouwens niet eens bruikbaar (want niet exact) is dat met

\(p>0 \)

en voor kleine a met

\(-1<a<1 \)

\((1+a)^p\)

ongeveer

\(1+a p\)

is

Dit is toch een handig trucje in,het dagelijks leven, stel je wil

\((1036)^{\frac{1}{3}}\)

hebben

nou :

\((1036)^{\frac{1}{3}} = 10 (1,036)^{\frac{1}{3}} =10 (1+0,036)^{\frac{1}{3}} \approx 10 (1+ \frac{0,036}{3} )=10 (1+0,012)=10 (1,012)=10,12\)

Als je weet dat de echte waarde 10.1186 is, is dat toch al redelijk goed.Ik denk dat in de film "Infinity" de wetenschapper Feynmann dit trucje gebruikt om indruk te maken op zijn aanstaande. 8)

Jekke

Inderdaad handig.

TD

De truc van Brihaspati is ook leuk, herschrijf als volgt:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left( {1 + \frac{{15}}{x}} \right)^{15} - 1}}{{ - \frac{{15}}{x}}} = - \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{x}{{15}}\left( {\left( {1 + \frac{1}{{\frac{x}{{15}}}}} \right)^{15} - 1^{15} } \right) = - \left. {\left( {x^{15} } \right)^\prime } \right|_1 = - 15\left( 1 \right)^{14} = - 15\)

Jekke

Ja ik zag het niet, vanwaar komt die eigenschap? Ik heb ze nooit gezien, is ze echt frequent toepasbaar of was dit eerder toeval? Is ze makkelijk aantoonbaar/afleidbaar?

TD

Het volgt uit de definitie van de afgeleide (leuke woordspeling van jou: is ze "afleidbaar" 8))

\(f'\left( a \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {a + h} \right) - f\left( a \right)}}{h} \to n = \frac{1}{h} \to f'\left( a \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {n \cdot \left( {f\left( {a + \frac{1}{n}} \right) - f\left( a \right)} \right)} \right)\)

Even een kleine subtiliteit buiten beschouwing gelaten... (shame on me

!)

Jekke

Inderdaad leuke woordspeling van me, subtiele wiskundehumer, ook al was het onbewust.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Een limiet zonder l'Hopital

Een limiet zonder l'Hopital

Re: Een limiet zonder l'Hopital

Re: Een limiet zonder l'Hopital

Re: Een limiet zonder l'Hopital

Re: Een limiet zonder l'Hopital

Re: Een limiet zonder l'Hopital

Re: Een limiet zonder l'Hopital

Re: Een limiet zonder l'Hopital

Re: Een limiet zonder l'Hopital

Re: Een limiet zonder l'Hopital