Een limiet zonder l'Hopital
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
- Berichten: 997
Een limiet zonder l'Hopital
Wie kan me helpen met deze limiet uit te rekenen zonder l'Hopital? (Of een hint, is miss leuker.) (Het resultaat is -15)
\(\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{{\left( 1 + \frac{15}{x} \right)}^{15} - 1}{- \frac{15}{x}}\)
- Berichten: 272
Re: Een limiet zonder l'Hopital
Een hint, je kunt de de teller met het omgekeerde van de noemer vermenigvuldigen. Je kunt ook deze regel toepassen:
\( \lim_{n \to \infty} n(f(a+ 1/n) - f(a)) = f'(a)\)
I love those who can smile in trouble, who can gather strength from distress, and grow brave by reflection. 'Tis the business of little minds to shrink, but they whose heart is firm, and whose conscience approves their conduct, will pursue their principles unto death.
- Berichten: 792
Re: Een limiet zonder l'Hopital
Ga over op een nieuwe variabele x, met t=frac{1}{x}
Merk op dat ik schaamteloos weiger om die teller helemaal uit te werken, al die andere termen doen er toch niet toe. 8)
\(\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{{\left( 1 + \frac{15}{x} \right)}^{15} - 1}{- \frac{15}{x}}=\lim_{x\rightarrow 0+} \frac{{\left( 1 + 15 x\right)}^{15} - 1}{- 15 x}\)
De teller ziet er uit als :\(1+15 (15 t)+105 (15 t)^2+\cdots-1\)
Die twee constante termen ( \(1\)
en \(-1\)
) heffen mekaar op, we delen\( t\)
weg uit teller en noemer, en klaar zijn we : de limiet is -15Merk op dat ik schaamteloos weiger om die teller helemaal uit te werken, al die andere termen doen er toch niet toe. 8)
- Berichten: 997
Re: Een limiet zonder l'Hopital
Bedankt, ik zie het, eigenlijk was dat het enige dat ik nog niet had uitgeprobeerd, namelijk omdat ik wat problemen had om de eerste termen uit het hoofd te bedenken en ook omdat ik zelf eerst de substitutie 15/x had geprobeerd, wat totaal verkeerd afliep.
- Berichten: 792
Re: Een limiet zonder l'Hopital
Wel, volledig terzijde, en trouwens niet eens bruikbaar (want niet exact) is dat met
Dit is toch een handig trucje in,het dagelijks leven, stel je wil
nou :
\(p>0 \)
en voor kleine a met \(-1<a<1 \)
\((1+a)^p\)
ongeveer \(1+a p\)
isDit is toch een handig trucje in,het dagelijks leven, stel je wil
\((1036)^{\frac{1}{3}}\)
hebbennou :
\((1036)^{\frac{1}{3}} = 10 (1,036)^{\frac{1}{3}} =10 (1+0,036)^{\frac{1}{3}} \approx 10 (1+ \frac{0,036}{3} )=10 (1+0,012)=10 (1,012)=10,12\)
Als je weet dat de echte waarde 10.1186 is, is dat toch al redelijk goed.Ik denk dat in de film "Infinity" de wetenschapper Feynmann dit trucje gebruikt om indruk te maken op zijn aanstaande. 8)- Berichten: 24.578
Re: Een limiet zonder l'Hopital
De truc van Brihaspati is ook leuk, herschrijf als volgt:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\left( {1 + \frac{{15}}{x}} \right)^{15} - 1}}{{ - \frac{{15}}{x}}} = - \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{x}{{15}}\left( {\left( {1 + \frac{1}{{\frac{x}{{15}}}}} \right)^{15} - 1^{15} } \right) = - \left. {\left( {x^{15} } \right)^\prime } \right|_1 = - 15\left( 1 \right)^{14} = - 15\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
- Berichten: 997
Re: Een limiet zonder l'Hopital
Ja ik zag het niet, vanwaar komt die eigenschap? Ik heb ze nooit gezien, is ze echt frequent toepasbaar of was dit eerder toeval? Is ze makkelijk aantoonbaar/afleidbaar?
- Berichten: 24.578
Re: Een limiet zonder l'Hopital
Het volgt uit de definitie van de afgeleide (leuke woordspeling van jou: is ze "afleidbaar" 8))
\(f'\left( a \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {a + h} \right) - f\left( a \right)}}{h} \to n = \frac{1}{h} \to f'\left( a \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {n \cdot \left( {f\left( {a + \frac{1}{n}} \right) - f\left( a \right)} \right)} \right)\)
Even een kleine subtiliteit buiten beschouwing gelaten... (shame on me !)"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
- Berichten: 997
Re: Een limiet zonder l'Hopital
Inderdaad leuke woordspeling van me, subtiele wiskundehumer, ook al was het onbewust.