Inhoudsberekening van een figuur.

Tibs

Voor het tweede deel van mijn herexamen moet ik dus de toepassingen van integralen oplossen ( ook nog rijen en reeksen en differentialen ). En nu had ik graag van jullie eens gehoord of ik hier juist ben.

De opgave is een vlak dat de X-as, Y-as en de Z-as snijdt. De bedoeling is om die indhoud te berekenen aan de hand van een zelf opgestelde formule.

Afbeelding

Wat is nu dus doe is het volgende:

Oppervlakte grondvlak =

\(\frac {|OA|.|OB|} {2} = \frac { Basis . Hoogte } {2}\)

Waarbij OA gelijkgesteld wordt aan de Basis en er een verband is met de hoogte want

\(Tan(\alpha) = \frac { Hoogte} {Basis}\)

dus

\( Hoogte = B . Tan(\alpha)\)

Oppervlakte grondvlak wordt nu :

\( \frac { B² . Tan(\alpha) } { 2}\)

We kunnen nu de volgende integraal opstellen:

\(\frac { Tan(\alpha) } {2} \int B² d(.)\)

tussen 0 en C

Welke dus gelijk is aan:

\(\frac { Tan(\alpha) . B³ } {6} of \frac { H . C³ } {6 . B} \)

Volgens mij zou dit moeten kloppen?

We hebben in de les een voorbeeld opgelost waarbij A,B en C = 1 en ik kom ook 1/6 uit.

Koen007

Hoe ik het zou doen:

Je hebt de punten (a,0,0), (0,b,0) en (0,0,c) die respectievelijk op de assen X, Y en Z liggen.

Hier kan je integreren door één richting variabel te maken en de andere twee hier in functie van uit te drukken.

Zo kan je stellen dat:

\(V=\int O(y).dy\)

voor y gaande van 0 tot b

hierin is

\(O(y)=\frac{x(y).z(y)}{2}\)

dit is gewoon de oppervlakte van een driehoek.

Nu is het aan jou om x(y) en z(y) te zoeken.

EvilBro

Volgens mij zou dit moeten kloppen?

Dat is het helaas niet...

Probeer het volgende eens:

- Stel een formule op voor het oppervlak binnen het volume op een hoogte \(h\) boven het grondvlak. Controleer natuurlijk even of je formule het correcte antwoord geeft voor de twee gevallen die je zeker weet (h=0 en h=C).

- Het volume is dan gelijk aan:

\(V = \int_0^C O(h) dh\)

Als je dit niet direct ziet, bedenk dan wat er gebeurt als je allemaal dunne plaatjes ter grootte met de vorm van O(h) opstapelt.

Succes

Safe

De getekende figuur is een driezijdige pyramide met inhoud, 1/3 maal de opp van het grondvlak maal de hoogte (van de top) op het grondvlak: 1/3*1/2ab*c=1/6abc.

De bedoeling van je opgave is me niet duidelijk.

Bv: Moet je gebruik maken van de integraalrekening?

Je hebt het over een 'zelf gemaakte' formule, kan je dat toelichten.

EvilBro

1/3*1/2ab*c=1/6abc.

Bij deze nomineer ik je NIET voor de prijs voor de meest eenduidige notatie.

Je hebt het over een 'zelf gemaakte' formule, kan je dat toelichten.

Volgens mij moet hij de door jou gegeven formule afleiden.

TD

Los van de meetkundige beschouwingen met driehoeken, tangensen & co kan het ook door louter te integreren.

De vergelijking van het viervlak is:

\(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\)

Waaruit voor integratie naar z:

\(z = c\left( {1 - \frac{x}{a} - \frac{y}{b}} \right)\)

En in het xy-vlak, integratie naar y:

\(y = b\left( {1 - \frac{x}{a}} \right)\)

En x uiteraard van 0 tot a. Dit geeft de integraal:

\(\int\limits_0^a {dx} \int\limits_0^{b\left( {1 - \frac{x}{a}} \right)} {dy} \int\limits_0^{c\left( {1 - \frac{x}{a} - \frac{y}{b}} \right)} {dz} = \int\limits_0^a {dx} \int\limits_0^{b\left( {1 - \frac{x}{a}} \right)} {c\left( {1 - \frac{x}{a} - \frac{y}{b}} \right)dy} = \int\limits_0^a {\frac{{\left( {a - x} \right)^2 cb}}{2}dx} = \frac{{abc}}{6}\)

Waarbij ik het rekenwerk achterwege heb gelaten, het opstellen is de essentie

Tibs

Ok bedankt voor de verschillende oplossingen, ik zal er eens goed naar kijken om de methode en de werkwijze te ontleden.

kotje

Ik meen dat safe de zaak toch het gemakkelijkst heeft opgelost. De inhoud is een derde van de inhoud van het prisma met hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte.

TD

Dat is inderdaad eenvoudig, maar uit de opgave begreep ik dat het om toepassingen van integralen ging.

Safe

Safe schreef:1/3*1/2ab*c=1/6abc.
Bij deze nomineer ik je NIET voor de prijs voor de meest eenduidige notatie.

Je hebt het over een 'zelf gemaakte' formule, kan je dat toelichten.
Volgens mij moet hij de door jou gegeven formule afleiden.

Je moet wel de gehele relevante zin 'quoten'!

Leg uit waarom dit niet eenduidig zou zijn, het benadrukken van een vermenigvuldiging kan heel instructief zijn.

TD

De notatie is op zich duidelijk, maar kan dubbelzinnig overkomen omdat velen 1/xy schrijven wanneer ze 1/(xy) bedoelen.

De verwarring ontstaat dus mogelijk door de vaak gebrekkige notatie van anderen, want 1/3*1/2ab*c=1/6abc klopt volgens de gangbare notatie.

EvilBro

Leg uit waarom dit niet eenduidig zou zijn, het benadrukken van een vermenigvuldiging kan heel instructief zijn.

Misschien is eenduidig niet het goede woord. Ik bedoelde dat het te gemakkelijk is om iets als 1/6abc te interpreteren als 1/(6*a*b*c). Zeker als je soms wel een '*' gebruikt en soms niet.

Verder wil ik zeggen: 'smiley.'

Tibs

Het gaat inderdaad om integraalrekenen. Ik gad over het hoofd gezien dat die oppervlakte in functie van de hoogte moest staan, anders heeft integreren niet veel nut eigenlijk. Nogmaals bedankt.

TD

Misschien enkele regels uitleg bij mijn integraal. Je werkt bvb van buiten naar binnen.

We beginnen met x en laten deze lopen van 0 tot a, dan hebben we alle nodige x-waarden.

Voor elke x laten we y lopen van aan de x-as tot aan de rechte in het xy-vlak waarvan je de vergelijking makkelijk afleidt uit het vlak door z gelijk aan 0 te stellen.

Vervolgens laat je voor elk punt van deze oppervlakte, z lopen van dit xy-vlak tot aan het 'plafond', dat is het vlak zelf met gegeven vergelijking.

Zo ga je op systematische wijze het hele volume doorlopen en kan je de grenzen bepalen.

Gast

Ik lees dit allemaal zo eens en jullie berekenen keurig de inhoud van een piramide maar dit is géén piramide maar een half prisma. En volgens mij zit daar een verschil in.

De inhoud is dan 1/4*Opp bodem*Hoogte.

Met vriendelijke groet,

Een gast op dit forum.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Inhoudsberekening van een figuur.

Inhoudsberekening van een figuur.

Re: Inhoudsberekening van een figuur.

Re: Inhoudsberekening van een figuur.

Re: Inhoudsberekening van een figuur.

Re: Inhoudsberekening van een figuur.

Re: Inhoudsberekening van een figuur.

Re: Inhoudsberekening van een figuur.

Re: Inhoudsberekening van een figuur.

Re: Inhoudsberekening van een figuur.

Re: Inhoudsberekening van een figuur.

Re: Inhoudsberekening van een figuur.

Re: Inhoudsberekening van een figuur.

Re: Inhoudsberekening van een figuur.

Re: Inhoudsberekening van een figuur.

Re: Inhoudsberekening van een figuur.