Differentialen oplossen a.d.h.v. een voorstel.

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer

Bericht 28-08-'06, 16:24

Tibs

Berichten: 55

Differentialen oplossen a.d.h.v. een voorstel.

Graag had ik eens geweten of de volgende oefening juist is of niet.
\(Opgave => y' - 2y = e^{2x}. \sin²(x) = e^{2x} . ( \frac {1} {2} - \frac {1} {2} \cos(2x) )\)
Als eerste zoek ik dus de homopolaire term:
\( r - 2 = 0 => y_h = c . e^{2x}\)
Nu de Particuliere term:
\(Voorstel = A x e^{2x} + e^{2x} . (B \sin(2x) + C \cos(2x) )\)
\( - 2 . y = A x e^{2x} + e^{2x} . (B \sin(2x) + C \cos(2x) )\)
\( 1 . y' = 2 A x e^{2x} + A e^{2x} + 2 e^{2x} . (B \sin(2x) + C \cos(2x) ) + e^{2x} . (2 B \cos(2x) -2 C \sin(2x) ) \)
Waar je dus het volgende kunt uit besluiten:
\(A e^{2x} + 2 e^{2x} . ( ( B - 2C) \sin(2x) + (C+ 2B) \cos(2x) ) = e^{2x} . ( \frac {1} {2} - \frac {1} {2} \cos(2x) )\)
Of dat:
\(A = \frac {1} {4}, B = - \frac {1} {5}, C = - \frac {1} {10}\)
En de Algemene Oplossing dus de volgende is:
\(c . e^{2x} + \frac {1} {4} x e^{2x} - e^{2x} . ( \frac {1} {5} \sin(2x) + \frac {1} {10} \cos(2x) ) \)
Omhoog

Bericht 28-08-'06, 16:48

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Differentialen oplossen a.d.h.v. een voorstel.

\(Voorstel = A x e^{2x} + e^{2x} . (B \sin(2x) + C \cos(2x) )\)
Lijkt mij een goed voorstel, maar...
\( - 2 . y = A x e^{2x} + e^{2x} . (B \sin(2x) + C \cos(2x) )\)
dit volgt niet uit je voorstel. Dit is y en dus niet -2*y.
\( 1   . y' = 2 A x e^{2x} + A e^{2x} + 2 e^{2x} . (B \sin(2x) + C \cos(2x) ) + e^{2x} . (2 B \cos(2x) -2 C \sin(2x) ) \)
Hier ben ik het wel mee eens.
Waar je dus het volgende kunt uit besluiten:
\(A e^{2x} + 2 e^{2x} . ( ( B - 2C) \sin(2x) + (C+ 2B) \cos(2x) ) = e^{2x} . ( \frac {1} {2} - \frac {1} {2} \cos(2x) )\)
Maar hier dus weer niet. Ik kom uit op:
\(y' - 2 y = A e^{2 x} + 2 B e^{2 x} \cos(2 x) + (2 B - 4 C) e^{2 x} \sin(2 x)\)
Ik kom dan ook uit op andere waarden voor A, B en C.
Omhoog

Bericht 28-08-'06, 16:55

Tibs

Berichten: 55

Re: Differentialen oplossen a.d.h.v. een voorstel.

die -2 . y is omdat je in u opave - 2 . y nodig hebt, je moet alles binnenin nog vermenigvuldigen met -2. de schijfwijze is wle niet erg logisch zie ik nu ook.
Omhoog

Bericht 28-08-'06, 17:15

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Differentialen oplossen a.d.h.v. een voorstel.

Ik kom er net achter dat ik schuin op mijn uitwerking gekeken heb. Het had moeten zijn:
\(y' - 2 y = A e^{2 x} + (2 B) e^{2 x} \cos(2 x) - (2 C) e^{2 x} \sin(2 x)\)
Omhoog

Bericht 28-08-'06, 17:19

Tibs

Berichten: 55

Re: Differentialen oplossen a.d.h.v. een voorstel.

Inderdaad, nu zie ik het. Bedankt alvast voor het snelle antwoord.
Omhoog

Bericht 28-08-'06, 21:01

kotje

Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Re: Differentialen oplossen a.d.h.v. een voorstel.

Ik meen dat we hier temaken hebben met een lineaire differentiaalvgl. met integrerende factor
\(e^{\int p(x)dx}=e^{\int -2dx}=e^{-2x}\)
.

Beide leden vermenigvuldigen met die factor geeft:
\(e^{-2x}(y'-2y)=\sin^2x\)
of
\(\frac{d(ye^{-2x})}{dx}=\sin^2x\)
of
\(d(ye^{-2x})=\sin^2x dx\)
of
\(ye^{-2x}=\int\sin^2x dx\)
of
\(y=e^{2x}\frac{1}{2}\int(1-\cos(2x)) dx\)
of

enz.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
Omhoog

Bericht 29-08-'06, 12:13

Tibs

Berichten: 55

Re: Differentialen oplossen a.d.h.v. een voorstel.

Is het volgens de methode van kotje niet:
\(A.O. = \frac {1} { \mu_{(x)}} . ( \int \mu_{(x)} . g_{(x)} dx + c )\mu_{(x)} = e^{\int - 2 dx} = e^{-2x}waarbij g_{(x)} = \sin²(x)\)
En dan zo verder uitwerken?
Omhoog

Bericht 29-08-'06, 17:35

kotje

Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Re: Differentialen oplossen a.d.h.v. een voorstel.

Zo is het.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
Omhoog
Reageer

Terug naar “Wiskunde”