het is welbekend dat, in een driehoek
(
H is niet het hoogtepunt maar het zwaartepunt.Pollop XXIII schreef:Hallo,
het is welbekend dat, in een driehoek\(ABC\), we ongeacht de oorsprong steeds hebben dat
\( \vec{H} = \frac{1}{3}(\vec{A}+\vec{B}+\vec{C})\)Weet iemand een dergelijke uitdrukking voor de vector\(\vec{O}\)in functie van de hoekpunten van de driehoek ?
(\(H\)is het hoogtepunt en\(O\)is het middelpunt van de omgeschreven cirkel)
Ik ben bang dat dit niet goed is!=zweistein=- schreef:Een driehoek met hoekpunten A, B en C en zijn omgeschreven cirkel met middelpunt M.
P is het middelpunt van zijde BC en N is het middelpunt van zijde AB.
Het snijpunt van de middelloodlijnen is het middelpunt van de omgeschreven cirkel.
er geldt:
\(\overline{AB}.\overline{NM} =\overline{BC}.\overline{PM} = \overline{0} \)(eigenschap van scalair product)
uitwerken geeft:
\(\overline{M} - \overline{N} = \overline{0} \)\( \overline{M} - \overline{P} = \overline{0}\)=>\(2\overline{M} = \overline{P} + \overline{N} \)(*)
P en N in functie van A, B en C schrijven:
\(\overline{P} = \frac{\overline{B} + \overline{C}}{2} \)\(\overline{N} = \frac{\overline{A} + \overline{B}}{2}\)instoppen in (*) geeft:\(\overline{M} = \frac{\overline{A} + 2\overline{B} + \overline{C}}{2} = \frac{\overline{A} + \overline{B} + 2\overline{C}}{2} = \frac{2\overline{A} + \overline{B} + \overline{C}}{2} \)Sorry voor mijn dubbele post