Ongeveer deze vraag kreeg ik in m'n eerste jaar als examenvraag op het mondeling examen mechanica: afleiden van de ellipsvormige baan uit een omgekeerd kwadratisch verband (Kepler). Helaas liggen m'n nota's in Brussel en is m'n geheugen niet meer goed genoeg om dat te reproduceren. Op eigen houtje een nieuwe poging gedaan, maar ik herinner me dat de uitwerking op het examen korter was...
\(\frac{{dr}}{{d\theta }} = r\sqrt {\frac{{2Er^2 }}{{mh^2 }} + \frac{{2Kr}}{{mh^2 }} - 1} \Leftrightarrow d\theta = \frac{{dr}}{{r\sqrt {\frac{{2Er^2 }}{{mh^2 }} + \frac{{2Kr}}{{mh^2 }} - 1} }} \Leftrightarrow \theta = \int {\frac{{dr}}{{r\sqrt {\frac{{2Er^2 }}{{mh^2 }} + \frac{{2Kr}}{{mh^2 }} - 1} }}} \)
Door te integreren vinden we
\(\theta \left( r \right)\) zodat na inversie
\(r \left( \theta \right)\).
\(\int {\frac{{dr}}{{r\sqrt {\frac{{2Er^2 }}{{mh^2 }} + \frac{{2Kr}}{{mh^2 }} - 1} }}} = - \int {\frac{{ - \frac{{dr}}{{r^2 }}}}{{\frac{1}{r}\sqrt {\frac{{2Er^2 }}{{mh^2 }} + \frac{{2Kr}}{{mh^2 }} - 1} }}} = - \int {\frac{{ - \frac{{dr}}{{r^2 }}}}{{\sqrt {\frac{{2E}}{{mh^2 }} + \frac{{2K}}{{mh^2 r}} - \frac{1}{{r^2 }}} }}} \)
Nu ga ik over op de variabele 1/r; die ik y zal noemen:
\(y = \frac{1}{r} \Rightarrow dy = - \frac{{dr}}{{r^2 }} \Rightarrow - \int {\frac{{dy}}{{\sqrt {\frac{{2E}}{{mh^2 }} + \frac{{2K}}{{mh^2 }}y - y^2 } }}} = - \int {\frac{{dy}}{{\sqrt {\frac{{2E}}{{mh^2 }} + \left( {\frac{K}{{mh^2 }}} \right)^2 - \left( {y - \frac{K}{{mh^2 }}} \right)^2 } }}} \)
In die laatste stap heb ik het volkomen kwadraat gevormd, ik vervang mh² door q voor het gemak:
\( - \int {\frac{{dy}}{{\sqrt {\frac{{2Eq + K^2 }}{{q^2 }} - \left( {y - \frac{K}{q}} \right)^2 } }}} = - \int {\frac{{dy}}{{\sqrt {\frac{{2Eq + K^2 }}{{q^2 }}} \sqrt {1 - \frac{{\left( {y - \frac{K}{q}} \right)}}{{\frac{{2Eq + K^2 }}{{q^2 }}}}^2 } }}} = - \frac{q}{{\sqrt {2Eq + K^2 } }}\int {\frac{{dy}}{{\sqrt {1 - \frac{{\left( {y - \frac{K}{q}} \right)}}{{\frac{{2Eq + K^2 }}{{q^2 }}}}^2 } }}} \)
Intermezzo om dat kwadraat wat te vereenvoudigen:
\(\frac{{\left( {y - \frac{K}{q}} \right)}}{{\frac{{2Eq + K^2 }}{{q^2 }}}}^2 = \left( {\frac{{\left( {y - \frac{K}{q}} \right)}}{{\frac{{\sqrt {2Eq + K^2 } }}{q}}}} \right)^2 = \left( {\frac{{qy - K}}{{\sqrt {2Eq + K^2 } }}} \right)^2 \)
Nu nog even een nieuwe variabele z en we integreren eenvoudig:
\(z = \frac{{qy - K}}{{\sqrt {2Eq + K^2 } }} \Rightarrow dz = \frac{q}{{\sqrt {2Eq + K^2 } }}dy \to - \int {\frac{{dz}}{{\sqrt {1 - z^2 } }}} = \arccos z + C\)
Opmerking: ik heb gezondigd tegen de wiskundige subtiliteit
\(\sqrt{x^2}= \left| x \right|\) maar vermits dat enkel invloed heeft op het teken zal dat het resultaat van de kegelsnede verder niet beïnvloeden, het is alleen lastiger schrijven. Ik neem nu C = 0 en substitueer terug:
\( \to \arccos \left( {\frac{{qy - K}}{{\sqrt {2Eq + K^2 } }}} \right) \Rightarrow \theta = \arccos \left( {\frac{{qy - K}}{{\sqrt {2Eq + K^2 } }}} \right) \Leftrightarrow \frac{{qy - K}}{{\sqrt {2Eq + K^2 } }} = \cos \theta \)
Een beetje algebraïsch rekenwerk, oplossen naar y:
\(qy - K = \sqrt {2Eq + K^2 } \cos \theta \Leftrightarrow y = \frac{{\sqrt {2Eq + K^2 } \cos \theta + K}}{q}\)
Maar y was ook 1/r; dus omkeren en we hebben r:
\(r = \frac{q}{{\sqrt {2Eq + K^2 } \cos \theta + K}} = \frac{{mh^2 }}{{\sqrt {2Eq + K^2 } \cos \theta + K}} = \frac{{\frac{{mh^2 }}{K}}}{{1 + \frac{{\sqrt {2Eq + K^2 } }}{K}\cos \theta }}\)
Neem nu:
\(\frac{{mh^2 }}{K} = p \wedge \frac{{\sqrt {2Eq + K^2 } }}{K} = \varepsilon \)
En we krijgen:
\(r = \frac{p}{{1 + \varepsilon \cos \theta }}\)
Het zou kunnen dat die constanten niet kloppen door reken en/of denkfouten, maar de (of "een") strategie staat er...
Tegenspreken? 
