Springen naar inhoud

Som 3-de machten


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Klaas-Jan

    Klaas-Jan


  • >100 berichten
  • 175 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 oktober 2006 - 15:30

Ik moet met behulp van inductie een formule vinden voor de som van de 3-de machten, dus...

3+3^2+...+3^n-1+3^n

De formule moet een 4-de graads functie zijn...

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 oktober 2006 - 15:55

Ik weet niet of je met behulp van inductie zo'n formule kunt vinden. Als je eenmaal een idee hebt kun je het met inductie waarschijnlijk wel bewijzen.

Overigens betwijfel ik of er een 4e-graads functie uit komt, lijkt me eerder dat het een exponentiŽle functie wordt (dus met ietsn i.p.v. n4).
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#3

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 oktober 2006 - 16:07

Toevoeging - ik dacht dat je "volledige inductie" als bewijsvorm bedoelde. Je kunt wel een inductieve (of recursieve) formule voor deze rij sommen opstellen. Als dat eenmaal lukt, heb je vervolgens hier ook vast iets aan.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#4

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 06 oktober 2006 - 16:30

Ik moet met behulp van inductie een formule vinden voor de som van de 3-de machten, dus...

3+3^2+...+3^n-1+3^n

De formule moet een 4-de graads functie zijn...

Een som van derde machten is:
LaTeX
En dat levert een vierde-graads functie in n op.

#5

mmmaster>

    mmmaster>


  • >25 berichten
  • 42 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 06 oktober 2006 - 16:38

Hmmz ik denk :

stel 3+3≤+3≥+...+3^n = S

vermenigvuldig beide leden met ( 1-3)

dan heb je (3-3^(n+1))=S.(1-3)

dus S = (3-3^(n+1))/(1-3)= (3-3^(n+1))/2

das een formule voor die som !

(srry ik kan nog niet werken met die latex codes, khoop daje der aan uitkan ... )

#6

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 oktober 2006 - 16:50

En dat levert een vierde-graads functie in n op.

Uhm, de TS had het volgens mij over LaTeX en niet LaTeX :)
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#7

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 06 oktober 2006 - 16:51

Ik weet niet wat Klaas-Jan bedoelt. Maar ik zie een eindige meetkundige reeks met reden 3. De formule om de som te berekenen vindt ge hier.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#8

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 oktober 2006 - 16:54

Eh Safe je hebt wel gelijk, een "som van derde machten" is wat jij schreef, de TS bedoelde zo te zien "som van machten van 3".

mmaster, jouw antwoord klopt bijna, 1-3 is -2, niet 2 :)
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#9

mmmaster>

    mmmaster>


  • >25 berichten
  • 42 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 06 oktober 2006 - 18:16

mmaster, jouw antwoord klopt bijna, 1-3 is -2, niet 2 :)


Ja, een typfoutje gebeurt al eens ... 8)

#10

Klaas-Jan

    Klaas-Jan


  • >100 berichten
  • 175 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 oktober 2006 - 19:12

LaTeX

Dat is precies wat ik moet bewijzen... Dus eerst formule bepalen (maar ik moet wel weten hoe) en dan met volledige inductie bewijzen...

Sorry als ik onduidelijk was...

#11

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 oktober 2006 - 21:54

Is er al van te voren gegeven dat er een vierdegraads functie uit komt?
Want in dat geval kun je gewoon zeggen: f(n) = an4+bn3+cn2+dn+e en los je 5 lineaire vergelijkingen met de 5 onbekende coŽfficiŽnten op door 5 uitkomsten in te vullen.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 oktober 2006 - 22:01

Zoek je naar iets analoogs als voor de som van kwadraten:

LaTeX

Dit is gemakkelijk af te leiden als je weet dat de volgende relatie geldt:

(1+2+...+n)≤ = 1≥+2≥+...+n≥ (*)

We hebben namelijk ook voor de som van de eerste n natuurlijke getallen:

LaTeX

Zodat we vinden, via (*):

LaTeX

Nu kan je eventueel, met inductie, de correctheid ("nog eens") bewijzen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#13

evilbu

    evilbu


  • >250 berichten
  • 792 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 oktober 2006 - 22:04

De formule voor de som van derdemachten is het resultaat van Nichomachus. Het is bijzonder mooi.

Hoe je die formule moet vinden? Wel.... het is een 4-de graads functie. Dat werd je gegeven als tip.
Die ziet er dus zo uit LaTeX

Nu weet je dat je hebt

n=0 -->f=0
n=1 -->f=1
n=2 -->f=9
n=3--> f=36
n=4-->f=100

Dat geeft je vijf vergelijkingen, die lineair zijn. Los die op en je vindt a,b,c,d,e

Als je dat allemaal doet , zou je LaTeX moeten uitkomen

Een scherpe lezer merkt echter op dat dit hetzelfde is alsLaTeX
Dus zoals ik al zei, een verassend eenvoudig en mooi resultaat, en dan ook (terecht) als "mooiste formule" beschouwd door velen. :wink:

#14

Klaas-Jan

    Klaas-Jan


  • >100 berichten
  • 175 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 oktober 2006 - 12:26

Dank jullie wel! En is dit met inductie te bewijzen?

#15

evilbu

    evilbu


  • >250 berichten
  • 792 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 oktober 2006 - 13:48

Jazeker.

We willen bewijzen dat LaTeX
stap 1 :

het is waar voorLaTeX :) , dat zie je snel

stap 2 :

stel de eigenschap is correct voor LaTeX
we bewijzen dat het ook zo is voorLaTeX
LaTeX

de formule klopt dus ook voor LaTeX


EDIT : wat is er mis met mijn laatste code? ik heb die hierboven uiteengerokken, maar dit was mijn oorspronkelijke die NIET werkte :

0^3+1^3+ldots+n^3+(n+1)^3=(0^3+1^3+ldots+n^3)+(n+1)^3=
left(frac{n(n+1)}{2}right)^2+(n+1)^3=(n+1)^2 ( frac{n^2}{4}+(n+1))=frac{(n+1)^2 (n^2+4 n+4)}{4}=frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures