Gonio: zendamateurraadsel

Shoqproof

Men heeft twee lijnstukken (rood en blauw)

Het rode lijnstuk heeft de lengte van een cirkelsegment.

Het blauwe, kortste lijnstuk heeft de lengte van de koorde.

Wat is nu de straal (groen) van de bijbehorende cirkel?

groetjes,

Shoqproof

Safe

Shoqproof schreef:Men heeft twee lijnstukken (rood en blauw)

Het rode lijnstuk heeft de lengte van een cirkelsegment.

Het blauwe, kortste lijnstuk heeft de lengte van de koorde.

Wat is nu de straal (groen) van de bijbehorende cirkel?

groetjes,

Shoqproof

Is het de bedoeling om die te construeren, of door meting van de lengtes r te berekenen?

Shoqproof

Het is de bedoeling om r te berekenen. De getekende constructie is slechts ter verduidelijking.

Safe

Het is de bedoeling om r te berekenen. De getekende constructie is slechts ter verduidelijking.

Noem de ingesloten hoek 2 alpha en trek r loodrecht de koorde (symm as) nu kan je cirkelboog en koorde in alpha uitdrukken! Probeer dat eens.

Shoqproof

s = cirkelsegment

k = koorde

r = straal

a = hoek (radialen)

s = r.a => a=s/r

k = 2r.sin(a/2)

k=2r.sin(s/2r)

tot zo ver geraak ik. Als ik dit probeer, dat krijg ik het volgende.

vb.

s = PI en k = 2. Dan weet je dat r = 1.

Vul je de formule in, dan krijg je:

2 = 2.1 sin(PI/2) ... en dat klopt.

Ik weet niet hoe ik de r moet eruit halen.

PeterPan

Stel cirkelboog heeft lengte a en de koorde lengte b.

Dan is de hoek tussen de 2 gegeven stralen a/(2

R).(2

) = a/R.

Oppervlakte driehoek is dan ½ R².sin(a/R)

Halve omtrek driehoek is s = R + ½ b.

Dus oppervlakte driehoek is (Heron)

s(s-R)(s-R)(s-b) =

(R + ½ b).¼ b²(R - ½ b) = ½ b

(R² - ¼ b²).

Dus ½ R².sin(a/R) = ½ b

(R² - ¼ b²).

Dan is R⁴.sin²(a/R) = b² (R² - ¼ b²).

Hier is de straal van de cirkel impliciet uitgedrukt in a en b.

Stel a = cR,

dan is R⁴.sin²© - b² R² + ¼ b⁴ = 0.

Dan is R² = (b² + b²

(1 - sin²© ))/(2 sin²©) = (b² + b² cos©)/(2 sin²©) = ½.b² (1 + cos©)/ sin²©.

Shoqproof

dankuwel ... had ikzelf nooit gevonden.

Safe

Shoqproof schreef:Het is de bedoeling om r te berekenen. De getekende constructie is slechts ter verduidelijking.
Noem de ingesloten hoek 2 alpha en trek r loodrecht de koorde (symm as) nu kan je cirkelboog en koorde in alpha uitdrukken! Probeer dat eens.

Noem de boog b en de koorde k en de straal van de cirkel r.

Dan is:

\(b=2r\alpha \)

\(k=2r\sin(\alpha)\)

Hieruit volgt:

\(\frac{\alpha}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{k}\)

Vb: b=1.1, k=1

Bereken (met de GR) het nulpunt van de functie: y1=x/sin(x)-1.1 => x=0.734

Shoqproof

Dan is R² = (b² + b² (1 - sin²© ))/(2 sin²©) = (b² + b² cos©)/(2 sin²©) = ½.b² (1 + cos©)/ sin²©.

Dank U Peterpan, maar, ik heb eens even iets getekend in AutoCAD.

c=980,2

k=852,4

dan moest r = 740,8, maar ik kom met uw formule 430 uit.

Shoqproof

Safe schreef:
Safe schreef:
Vb: b=1.1, k=1

Bereken (met de GR) het nulpunt van de functie: y1=x/sin(x)-1.1 => x=0.734
Dat ziet er mooi uit, en bij het tekenen blijkt het ook te kloppen, alleen begrijp ik de formule niet . Kan je ze aub schrijven als

r = ....

met dank

PeterPan

\(2r\sin(\frac{b}{2r}) = k\)

met

r de straal, b de booglengte en k de lengte van de koorde.

Je kunt dit niet schrijven als r = .... . Helaas.

Safe

Safe schreef:Noem de boog b en de koorde k en de straal van de cirkel r.

Dan is:

\(b=2r\alpha \)

\(k=2r\sin(\alpha)\)
Hieruit volgt:

\(\frac{\alpha}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{k}\)
Vb: b=1.1, k=1

Bereken (met de GR) het nulpunt van de functie: y1=x/sin(x)-1.1 => x=0.734

Heb je een GR? Zo niet, dan misschien Excel?

De verg:

\(\frac{\alpha}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{k}\)

, kan in de vorm

\(\frac{\alpha}{\sin(\alpha)}-\frac{b}{k}=0\)

(*), geschreven worden.

Als b en k gegeven lengtes zijn, is b/k natuurlijk een getal. Neem het linkerlid van (*) en vervang alpha door x. Zo krijg je y1. Het vb leek me aardig om de oplossing te illustreren. Zodra alpha=x bekend is kan r worden berekend met b/(2x).

Nu merk ik dat x= 0.749 => r=0.734.

Opm: het is mogelijk om r (in benadering) uit te drukken in b en k. Maar ik wil graag je reactie op het bovenstaande.

kotje

Ik heb iets in dezelfde aard gevonden als safe.

\(\alpha\)

: middelpuntshoek; k: koorde; b:boog.

\(\alpha=\frac{b}{R}\)

waarbij R de straal is.

Nu is

\(\sin(\frac{\alpha}{2})=\frac{k}{2R}\)

We hebben

\(R.\sin(\frac{b}{2R})=\frac{k}{2}\)

We schrijven dit nu als

\(Y=R.\sin(\frac{b}{2R})-\frac{k}{2}\)

We kunnen dit zoals safe zegt gemakkelijk oplossen met een GR, na het tekenen van de functie( die blijkbaar symmetrisch ligt t.o.z. Y-as?) krijgen we gemakkelijk de straal. Ik wil wel opmerken dat voor een bepaalde koorde de minimum straal

\(\frac{k\pi}{2}\)

is, dit is als het middelpunt van de cirkel in het midden van de koorde ligt.

Ik heb dit opgelost voor k=20; b=22 en vind voor R=14,68.

Shoqproof

Bedankt Safe,

Ik kan de redenering volledig volgen, en ook de oplossing klopt.

Het is alleen jammer dat er geen formuletje is om het nulpunt te berekenen.

Het elegante is steeds dat een oplossing op een bierkaarje past. En dat is zo.

Shoqproof

Kotje,

mijn dank gaat uiteraard ook naar u uit. Ik was op een gelijkaardige wijze begonnen, maar die alfa/2 stoorde mij in die sinus.

Als we toestaan dat k nul wordt, en b gelijk aan de cirkelomtrek, dan komen we in de problemen met onze deling. Daarom stel ik dat Alfa ligt in het domein [0,PI] waardoor de maximale booglengte gelijk is aan r maal PI.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Gonio: zendamateurraadsel

Gonio: zendamateurraadsel

Re: Gonio: zendamateurraadsel

Re: Gonio: zendamateurraadsel

Re: Gonio: zendamateurraadsel

Re: Gonio: zendamateurraadsel

Re: Gonio: zendamateurraadsel

Re: Gonio: zendamateurraadsel

Re: Gonio: zendamateurraadsel

Re: Gonio: zendamateurraadsel

Re: Gonio: zendamateurraadsel

Re: Gonio: zendamateurraadsel

Re: Gonio: zendamateurraadsel

Re: Gonio: zendamateurraadsel

Re: Gonio: zendamateurraadsel

Re: Gonio: zendamateurraadsel