Springen naar inhoud

De naald van Buffon


  • Log in om te kunnen reageren

#1

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 27 november 2006 - 22:16

Op pagina http://en.wikipedia....Buffon's_needle staat

Een naald van lengte L laat men vallen op een vlak met evenwijdige lijnen. De afstand tussen 2 naburige lijnen is steeds D. Wat is de kans dat de naald een lijn zal snijden?

Antwoord: LaTeX

Het volgende lijkt moeilijk, maar is het niet!
Ik laat nu een regelmatige 6-hoek (met diameter<D) vallen. Wat is nu de kans dat de 6-hoek een lijn snijdt.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

stoker

    stoker


  • >1k berichten
  • 2746 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 november 2006 - 22:21

drie keer de kans van de naald?

#3

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 27 november 2006 - 22:26

drie keer de kans van de naald?

Is dit een gok, of heb je er een redenering bij?

#4

stoker

    stoker


  • >1k berichten
  • 2746 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 november 2006 - 22:31

iets tussen de twee,
ik zie die naald als beschrijvende van de 6-hoek drie keer van hoek naar overstaande hoek, dus drie naalden nodig.

maar ik heb niet echt vertrouwen in men antwoord, dus uiteindelijk is het een gok

#5

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 27 november 2006 - 23:24

Het antwoord is helaas niet goed.

#6

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 28 november 2006 - 09:13

Hint:
De kans dat een hoekpunt op een lijn ligt is verwaarloosbaar.
Nummer de zijden 1 t/m 6.
P(k) is de kans dat zijde k een lijn snijdt.
P(k,n) is de kans dat zowel zijde k als zijde n een lijn snijdt. (k[ongelijk]n).

#7

stoker

    stoker


  • >1k berichten
  • 2746 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 november 2006 - 18:03

de zeshoek kan maar door 1 van de evenwijdige rechten gesneden worden.

mogelijkheden: helemaal niet gesneden, of precies twee zijden van de zeshoek, de kans dat de zeshoek met 1 of 2 hoekpunten op een lijn ligt is inderdaad gelijk aan nul

en dan komt het moeilijke stuk

de kans dat een lijnstuk met als lengte de lengte van zijde van de zeshoek bepalen;

in de zeshoek geldt: (cosinusregel) LaTeX
LaTeX
LaTeX

waaruit volgt dat de kans dat 1 losstaande zijde op een lijn valt gelijk is aan :LaTeX

dus de kans verzesvoudigd als je 6 afzonderlijke laat vallen = LaTeX , maar, in de zeshoek vallen er altijd twee zijden samen op een lijn, en is dus gelijk aan : LaTeX ,

klopt daar iets van?

#8

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 28 november 2006 - 19:13

De kans verzesvoudigd inderdaad als de 6 onafhankelijk laat vallen. Het is echter niet zonder meer duidelijk wat voor consequenties het heeft voor het feit dat er altijd 2 zijden tegelijk snijden.
Ik heb het probleem weten op te lossen door alleen te gaan goochelen met de P(k)'s en P(n,k)'s die ik hierboven noemde.

#9

stoker

    stoker


  • >1k berichten
  • 2746 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 november 2006 - 21:10

ik zie niet direct een andere manier om het op te lossen.
dus de uitkomst klopt niet?

#10

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 28 november 2006 - 21:47

Hij klopt wel, alleen je redenering kan me niet overtuigen. De lengte van de zijden noem ik overigens L. Ik geef je daarom nu mijn oplossing.

#11

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 28 november 2006 - 22:58

Hint:
De kans dat een hoekpunt op een lijn ligt is verwaarloosbaar.
Nummer de zijden 1 t/m 6.
P(k) is de kans dat zijde k een lijn snijdt.
P(k,n) is de kans dat zowel zijde k als zijde n een lijn snijdt. (k[ongelijk]n).
Voor het gemak spreken we af dat P(k,k) = 0 voor alle k.


LaTeX voor elke k afzonderlijk. (was gegeven)

Als zijde k een lijn snijdt doet ie dat altijd samen met een andere zijde, dus
LaTeX

De kans dat de zeshoek een lijn snijdt = de kans dat 2 zijden de lijn snijden en die kans is dus
LaTeX

#12

Jabs

    Jabs


  • 0 - 25 berichten
  • 14 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 30 november 2006 - 00:02

Dit klinkt leuk, maar volgens mij is er geen rekening mee gehouden dat de zijden niet onafhankelijk vallen.
Het antwoord kan in ieder geval niet kloppen.

De 6-hoek past nog tussen de strepen, zolang L < D/sqrt(3). Alleen dan is de kans al boven de 1 geraakt. Dat kan dus niet kloppen.

Ik zal eens kijken of ik op een ander antwoord kan komen.

#13

Jabs

    Jabs


  • 0 - 25 berichten
  • 14 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 30 november 2006 - 00:59

Ah, het antwoord klopt inderdaad, mits 2L < D. Volgens mij was dit ook gegeven in het begin. Mijn excuses.
Om dit op te lossen heb ik overigens geintegreerd over de hoeken en de posities waarop de zeshoek kan vallen. De hoek die de zeshoek kan maken is van 0 tot 30 graden (rest is symmetrisch).
De "hoogte", de verticale afstand tussen het laagste punt en het hoogste punt van de zeshoek, is dan h = cos(hoek)*2L. De kans om een lijn te raken bij een gegeven "hoogte" is h/D. (Mits h<D, en juist hier komt die voorwaarde vandaan, deze vind ik in het kansverhaal niet terug.)
Integreren van deze kans over de hoeken en delen door het hoekinterval levert dan het antwoord op.

#14

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 30 november 2006 - 09:15

Het aardige van mijn (toch niet al te moeilijke) oplossing is dat het er eigenlijk niet toe doet dat het een zeshoek is. De redenering gaat op voor elke n-hoek en in het limietgeval voor de cirkel.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures