Springen naar inhoud

Zekerheid over het hebben van een sub.


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 december 2006 - 18:45

Gegeven is volgende stelling:
Geplaatste afbeelding

Ik begrijp deze stelling tot aan het rode onderlijnt. Kan ik nu het rood zwarte onderlijnt als volgt interpreteren.

x=element van de verzameling en is nu kleiner dan dus: LaTeX

om daar dan x uit te berkenen?

Groeten Dank bij voorbaat.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 12 december 2006 - 19:54

Je berekent daar geen x, x volgde per constructie uit je dalende rij intervallen. Je wil aantonen dat x het supremum is: dus x moet een majorant zijn en er mag geen grotere majorant zijn.
Eerst toonde je aan dat x een majorant was en het rode onderlijnde gedeelte herhaalt dat analoge argument, maar nu met een vooropgestelde kleinere majorant y. Uit die ongelijkheid (die geldt voor n voldoende groot) zou dan volgen dat a kleiner is dan of gelijk aan y (want we veronderstellen y majorant), maar ook y kleiner dan (de ondergrens) x_n. Dan zou dat interval geen a uit A meer bevatten, dat kan niet.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 december 2006 - 21:19

Dat begrijp ik maar hoe geraak je van LaTeX naar LaTeX

Of nog welke algebraische manipulatie pas je toe. Ik begrijp het wel intinuitief maar kan het nog niet echt hard maken.

Groeten.

#4

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 december 2006 - 11:38

Mss een raar vraag maar mag ik uit mijn constructie afleiden dat eigenlijk mijn x zowel een majorant als een element is van de verzameling?
Waarschijnlijk niet want dan was de rest van de bewijsvoering niet nodig maar volgens mij gebruikt men impliciet de eigenschap dat x een element is dan is dat x een majorant is en dan te kunnen besluiten dat we spreken over een sup.
Om dit dan kunnen hard te maken.
Ik zal straks mijn redenering hier omtrent verder uiteen zetten als mij iemand zou kunnen bevestigen dat intuïtief (dus mss niet 100precent wiskundig correct) je eigenlijk kan zeggen dat x een element is dan eens een majorant.

Groeten.

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 december 2006 - 12:33

Per constructie is y_n steeds een majorant, niet x. Je toont aan dat de gevonden x de (kleinste) majorant moet zijn, supremum dus.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#6

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 december 2006 - 12:48

Maar y_n en x_n zullen steeds korter samen komen te liggen. Om dan in de limiet gelijk te zijn. Want uiteindelijk volgt uit de constructie toch maar één enkele x waarden die moet dus het allerlaatste interval openspannen (ik denk wel dat je dat dan zo niet meer noemt) en dus is die zowel een majorant als een element.
Bij onderstelling. En dan bewijs ik dat het effectief een majorant is en dan bewijs ik dat het de kleinste moet zijn?

Groeten.

#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 december 2006 - 12:52

Intuïtief komen die inderdaad steeds dichter bij elkaar, maar dat er uiteindelijk maar één is die dan het supremum is, dat kan je niet zomaar stellen. Uit de volledigheid van de reële getallen volgt dat er nog een x in die geneste intervallen zit, maar je moet wel nog aantonen dat het a) een majorant is (de y_n's waren dat wel, maar voor x moet je dat nog tonen) en b) de kleinste majorant is.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#8

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 december 2006 - 15:49

Oké dan nu mijn redenering doorvoeren dus:

We hebben per constructie die x gevonden en onderstellen dat het geen majorant is dan vinden we idd een element a zodat a=element van A en a>x dan hebben we LaTeX maar die twee x worden in de limiet toch gelijk of nog x moet ook een element zijn van onze startverzameling dus schrijf ik LaTeX en dus laat ik nu die x aan beiden kanten vallen LaTeX zodat er nu zou staan dat ons element a groter is dan LaTeX en dat kan niet net omwille van het feit dat LaTeX een majorant moet zijn.

Dan dat tweede indien we onderstellen dat er een majorant is kleiner dan x en noem die y dan hebben we dat LaTeX maar als n naar oneindig gaat dan zal die LaTeX vanuit onze constructie gelijk worden aan LaTeX dus herschrijf ik LaTeX en dus LaTeX dit kan dan weerom niet vanwege het feit dat een element niet groter kan zijn dan die majorant.

Op die manier begrijp ik dus die stelling. Klopt dit?

Groeten.

#9

phi hung

    phi hung


  • >250 berichten
  • 284 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 december 2006 - 18:05

Dat begrijp ik maar hoe geraak je van LaTeX

naar LaTeX

Of nog welke algebraische manipulatie pas je toe. Ik begrijp het wel intinuitief maar kan het nog niet echt hard maken.


Propositie 1:
LaTeX

Gevolg:
LaTeX
LaTeX


Propositie 2:
LaTeX


Hieronder is de eerste ongelijkheidsteken (LaTeX ) vanwege propositie 1 en de tweede ongelijkheidsteken (LaTeX ) is vanwege propositie 2:
LaTeX

Verder:
LaTeX
LaTeX
LaTeX

Conclusie: y kan geen supremum zijn.

#10

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 december 2006 - 18:51

Bedankt heb hem. Ik had al een redenering Maar je kan dus altijd via algebraïsche manipulatie tot iets komen. Of nog je kan altijd alles algebraïsch afdwingen?

Groeten.

#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 december 2006 - 19:53

Of nog je kan altijd alles algebraïsch afdwingen?

Wat bedoel je precies?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#12

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 december 2006 - 22:29

Wel de constructie snap ik.
Een redenering kan ik er dan wel aanplakken als het ware maar men blijft hier formeel het effectief uitschrijven (met specifieke redenen) en daaruit dan zaken concluderen zo te zien.

Groeten.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures