Springen naar inhoud

Tweedegraads differentiaalvergelijking


  • Log in om te kunnen reageren

#1

aaargh

    aaargh


  • >1k berichten
  • 1279 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 januari 2007 - 17:42

Ik probeer een paar differentiaalvergelijkinkjes op te lossen. Nu heb ik die van een gedempte veer.

LaTeX

Ik heb die geprobeerd op te lossen door x(t) = Ke^(i * t) in te zetten. Dan krijg ik dit.

LaTeX

De exponentiele functie wordt nooit nul, dus was het enkel nog kwestie een VKV op te lossen. Maar dit heeft 2 oplossingen. Welke moet ik gebruiken?

Ik zou dit hele verhaal kunnen stellen met 1 vraag:
Hoe los ik dit soort differentiaalvergelijkingen op?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 02 januari 2007 - 17:47

Zie de theorie van Laplace transformaties
http://mathworld.wol...eTransform.html

#3

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 januari 2007 - 18:19

en als je dat ingewikkeld vindt, kan je altijd eens LaTeX invullen en oplossen naar LaTeX . (a,b,c zijn gegeven constanten). Een 2de orde DV heeft 2 oplossingen.

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 januari 2007 - 18:27

In het algemeen zal een differentiaalvergelijking van orde n, afhangen van n constanten (cfr integratieconstanten).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

evilbu

    evilbu


  • >250 berichten
  • 792 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 januari 2007 - 20:00

Ik probeer een paar differentiaalvergelijkinkjes op te lossen. Nu heb ik die van een gedempte veer.

LaTeX



Ik heb die geprobeerd op te lossen door x(t) = Ke^(i * t) in te zetten. Dan krijg ik dit.

LaTeX

De exponentiele functie wordt nooit nul, dus was het enkel nog kwestie een VKV op te lossen. Maar dit heeft 2 oplossingen. Welke moet ik gebruiken?

Ik zou dit hele verhaal kunnen stellen met 1 vraag:
Hoe los ik dit soort differentiaalvergelijkingen op?

Ik weet niet wat je al over lineaire differentiaalvergelijkingen gezien hebt.
Je moet beseffen dat de oplossingen een lineaire vectorruimte vormen (je kan ze optellen en vermenigvuldigen met een scalair, je zal altijd weer een oplossing krijgen)
Bij een tweede orde lineaire diff-vgl zal die oplossingsruimte tweedimensionaal zijn. En dat komt perfect overeen met wat jij vindt. Jij vindt namelijk een LaTeX en een LaTeX als oplossing. Waarna je vindt dat de algemen oplossing er zo uitziet : LaTeX

#6

aaargh

    aaargh


  • >1k berichten
  • 1279 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 januari 2007 - 23:05

@eendavid: lees mijn berichtje eens goed na...

Dus ik moet ze optellen volgens evilbu. Bedankt.

#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 januari 2007 - 23:21

Meer nog: je mag eender welke lineaire combinatie nemen (dus veelvouden optellen).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#8

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 januari 2007 - 23:32

edit: en als je dat ingewikkeld vindt, kan je altijd eens LaTeX invullen en oplossen naar LaTeX . (a,b,c zijn gegeven constanten). Een 2de orde DV heeft 2 oplossingen.

vermits evilbu en TD! al geantwoord hadden tegen dat ik door had dat ik de t was vergeten, dacht ik niet dat het nog nodig was.

#9

aaargh

    aaargh


  • >1k berichten
  • 1279 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 januari 2007 - 11:13

Meer nog: je mag eender welke lineaire combinatie nemen (dus veelvouden optellen).


Maar hoe bepaal ik dan welke oplossing de werkelijke oplossing is. Een gedempte veer zal maar met 1 bepaalde frequentie trillen. Begintoestanden en dat soort dinge?

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 januari 2007 - 11:33

Om een unieke oplossing te hebben, moet je de constanten bepalen aan de hand van begin- en/of randvoorwaarden.
Zonder extra voorwaarden, is die oplossing met de constanten de volledige, algemene oplossing van de differentiaalvergelijking.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5441 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 03 januari 2007 - 14:22

LaTeX
Laten we bovenstaande vergelijking Vergelijking A noemen.
Stel:
LaTeX
LaTeX
Heeft deze karakteristieke verg. 2 verschillende reele wortels
LaTeX
Dan zijn:
LaTeX
twee partikuliere oplossingen van vergelijking A , en is de algemene oplossing:
LaTeX
Zijn de wortels lambda1 en lambda 2 toegevoegd complexe wortels ( wat het geval is als a ,b, en c reele getallen zijn) , dan geldt dezelfde algemene oplossing.
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
en
LaTeX
De algemene oplossing kunnen we dan schrijven als:
LaTeX
Heeft de vergelijking A twee gelijke wortels
LaTeX
Dan is de algemene oplossing van verg. A:
LaTeX

#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 januari 2007 - 15:55

Ziet er goed uit, dit kan je nog veralgemenen naar differentiaalvergelijking van orde n met constante coŽfficiŽnten.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#13

Andy

    Andy


  • >250 berichten
  • 294 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 januari 2007 - 18:53

misschien nog niet onbelangrijk ivm de beginvoorwaarden:
voor een n-de orde lineaire differentiaalvergelijking (dus het hoogste aantal keer dat je moet afleiden = n), heb je n randvoorwaarden nodig... die randvoorwaarden zijn algemeen, maakt niet uit wat, waar of wanneer...
In dit voorbeeld je kan dus bvb eisen dat op t0 het op positie x0 zit, op t1 op positie x1.
Of ander voorbeeld dat de positie op t=0 x0 is, de snelheid op t=0 v0 is. of eender andere combinatie... maakt niet uit...

#14

Morzon

    Morzon


  • >1k berichten
  • 2002 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 januari 2007 - 19:38

LaTeX
kan dan geschreven worden als: LaTeX
LaTeX

#15

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 januari 2007 - 19:41

die randvoorwaarden zijn algemeen, maakt niet uit wat, waar of wanneer...  
(...)
of eender andere combinatie... maakt niet uit...

Misschien toch even nuanceren omdat je dat "willekeurige" zo benadrukt: er zijn inderdaad stellingen die het bestaan en de uniciteit van een oplossing voor een differentiaalvergelijking met beginvoorwaarden garanderen, maar wel onder zekere voorwaarden. Die zijn 'gewoonlijk' voldaan, maar dat is dus niet altijd zo.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures