\(a\frac{d^2x}{dt^2}+b\frac{dx}{dt}+cx=0\)
Laten we bovenstaande vergelijking Vergelijking A noemen.
Stel:
\(x=e^{\lambda t}\)
\(a\lambda^2+b\lambda+c=0\)
Heeft deze karakteristieke verg. 2 verschillende reele wortels
\(\lambda1 - en - \lambda2\)
Dan zijn:
\(x_1=e^{\lambda_{1}t} -en-x_2=e^{\lambda_{2}t}\)
twee partikuliere oplossingen van vergelijking A , en is de algemene oplossing:
\(x=K_{1}e^{\lambda_{1}t}+K_{2}e^{\lambda_{2}t}\)
Zijn de wortels lambda1 en lambda 2 toegevoegd complexe wortels ( wat het geval is als a ,b, en c reele getallen zijn) , dan geldt dezelfde algemene oplossing.
\(\lambda_1=a+ib\)
\(\lambda_2=a-ib\)
\(x1=e^{t(a+ib)}=e^{at}(\cos bt+i\sin bt)\)
\(x2=e^{t(a-ib)}=e^{at}(\cos bt-i\sin bt)\)
\(\frac{1}{2}(x1+x2)=e^{at}\cos bt\)
en
\(\frac{1}{2i}(x1-x2)=e^{at}\sin bt\)
De algemene oplossing kunnen we dan schrijven als:
\(x=e^{at}(K_{1}\cos bt+K_{2}\sin bt)\)
Heeft de vergelijking A twee gelijke wortels
\(\lambda_1 =\lambda_2\)
Dan is de algemene oplossing van verg. A:
\(x=(K_{1}+K_{2}t)e^{\lambda_{1}t\)
