Springen naar inhoud

[lineaire algebra] Stap uit een bewijs


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Rov

    Rov


  • >1k berichten
  • 2242 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 januari 2007 - 12:40

Stel dat V een basis heeft die uit n vectoren bestaat, en stel dat v1, ..., k een lineair onafhankelijks stelsel vectoren is in V. Dan geldt:
a) k =< n (kleiner of gelijk aan)
b) als k = n dan is v1, ..., vn ook een basis van V
c) als k<n dan kan met v1, ... ,vk met n-k vectoren k+1, ...,vn aanvullen tot een basis van V.
Bewijs:

Laat e1, ... , en de gegeven basis zijn. Dan geldt voor zekere scalairen a1i die niet allen nul zijn dat:
v1=a11e1 + ... + a1nen

Als we dan een veronderstellen dan a11 :) nul is (en anders verwisselen we gewoon een paar a's tot er vanvoor een a staat die niet nul is) geldt:

LaTeX

Elke lineaire combinatie van e1, ... , en kan dus geschreven worden als een combinatie van
v1, e2, ... , en

Dit is ook weer lineair onafhankelijk want anders zouden er n scalairen b1, ..., bn bestaan die niet allen nul zijn zodat
LaTeX

Maar dan mag b1 niet nul zijn want e2 tot en zijn lineair onafhankelijk.

Samen met het feit dat
v1=a11e1 + ... + a1nen geeft dit:

b1a11e1 + (b1a12+b2)e2 + ... + (b1a1n+bn)en=0 met b1a11 :) 0.

Maar hoe komt men aan die laatste warboel van a, b en e's??

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 januari 2007 - 13:47

Ik heb een sterk vermoeden dat dit

LaTeX

moet vervangen worden door dit
LaTeX ,
waarbij
LaTeX

#3

Rov

    Rov


  • >1k berichten
  • 2242 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 januari 2007 - 14:23

Goed gezien, heb ik over gelezen. Men gebruikt altijd die "+ ... +" notatie in het handboek.
Dus er zou moeten staan:
LaTeX

#4

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 januari 2007 - 14:35

ah, dan is het gewoon invullen en groeperen in ei toch?

#5

Rov

    Rov


  • >1k berichten
  • 2242 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 januari 2007 - 14:46

Wat bedoel je daarmee, met groeperen?

#6

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 januari 2007 - 15:04

LaTeX
met
LaTeX
geeft
LaTeX
en tenslotte:
LaTeX

#7

Rov

    Rov


  • >1k berichten
  • 2242 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 januari 2007 - 15:11

Tsjonge jonge, en dat zag ik niet :).





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures