Springen naar inhoud

stelsel van 3 vgl, 3 onbekenden


  • Log in om te kunnen reageren

#1


  • Gast

Geplaatst op 16 februari 2005 - 23:34

Hoi,

Kheb nogal problemen met het uitrekenen van 3 vergelijkingen met 3 onbekenden. Zo bijvoorbeeld onderstaande oefening:


X = Y + Z (1)
12 - 2X - 4Z = 0 (2)
12 - 2X - 4Y - 2Y = 0 (3)


Kzou als uitkomsten moeten vinden:

X = 1,09
Y = 1,64
Z = 2,73

Kan iemand mij mss vertellen hoe ik dit moet aanpakken (zijn er regeltjes) om dit stelsel op te lossen?

Alvast bedankt!

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 februari 2005 - 23:43

Hoi,

X = Y + Z                   (1)
12 - 2X - 4Z = 0          (2)
12 - 2X - 4Y - 2Y = 0    (3)


Kzou als uitkomsten moeten vinden:

X = 1,09
Y = 1,64
Z = 2,73

In die vetgedrukte regel moet de laatste Y een Z zijn of ... ?

#3


  • Gast

Geplaatst op 16 februari 2005 - 23:44

nope, tis goed zoals het er staat...

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 februari 2005 - 23:54

In dat geval neem je die 2 toch samen, niet ?

Ik heb het stelsel voor je opgelost met de substitutie-methode.
Je schrijft 1 van de onbekenden in functie van de 2 anderen en vervangt deze in de andere vergelijking.
In die 2 vergelijkingen herhaal je dat nog eens met één van de 2 overgebleven onbekenden om zo in de laatste vergelijking slechts één onbekende over te houden.
Die kan je dan oplossen en dan steeds terug invullen om de 2 andere onbekenden te vinden.

Er zijn vaak snellere oplossingen (lineaire combinaties, cramer, Gauss) maar deze is er een die erg eenvoudig te begrijpen is.

Geplaatste afbeelding

#5

Math

    Math


  • >1k berichten
  • 1460 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 februari 2005 - 00:14

Let wel hier even op:

X = 1,09
Y = 1,64
Z = 2,73

X=30/11
Y=12/11
Z=18/11

Dat felix X als kleinste uitkomst heeft en TD Y als kleinste heeft te maken met de manier van uitrekenen.
<i>Iets heel precies uitleggen roept meestal extra vragen op</i>

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 februari 2005 - 00:16

Misschien vergeten te vermelden:
Als je het dus via een algebraïsche methode doet krijg je de exacte waarden (dit kunnen gehele getallen zijn maar ook breuken of wortels).

De waarde je (topicstarter) opgaf waren dus afgeronde waarden en niet de exacte.

Gewoonlijk laat je je uitkomsten altijd in breukvorm staan, door af te ronden maak je immers altijd een fout.

---
Edit:
Ik zie nu pas dat je een verschil in de uitkomsten hebt opgemerkt, dit zou toch onafhankelijk moeten zijn van de gevolgde methode hoor.
Tenzij er ergens een fout in m'n uitwerking is geslopen moeten die uitkomsten van Felix dan toch fout zijn (of althans verwisseld)...

#7

Math

    Math


  • >1k berichten
  • 1460 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 februari 2005 - 00:21

X  -  Y  - Z = 0  (1)
2X  +      4Z = 12 (2)
2X  + 6Y      = 12 (3)

Dit is in feite het stelsel. Als je hem zo bekijkt dan is deze helemaal niet nodig om moeilijke technieken bij toe te passen. Want (ik heb ze daarom zo mooi onder elkaar gezet) je ziet vrij snel dat 6Y gelijk is aan 4Z. Ofwel Z=1,5Y. Goed kijken naar de eerste vgl levert dan dat X=2,5Y. Nu heb je genoeg informatie om het uit je hoofd op te lossen. Het zijn tenslotte geen grote of moeilijke getallen. En ik geef TD gelijk met zijn uitkomsten in die volgorde, ik krijg op mijn manier dezelfde uitkomsten voor X, Y en Z. Dus ik denk dat jouw antwoorden niet echt juist zijn felix en idd afronden is nooit goed als je het precies kunt noteren!
<i>Iets heel precies uitleggen roept meestal extra vragen op</i>

#8


  • Gast

Geplaatst op 17 februari 2005 - 00:22

Bedankt!

Kbegrijp het. Zonder deze oplossingsmethode had ik daar nog uren op gezocht.

#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 februari 2005 - 00:23

Graag gedaan, maar kijk je even je uitkomsten na?
Ik kom namelijk dezelfde waarden uit, maar niet in die volgorde...

#10


  • Gast

Geplaatst op 17 februari 2005 - 00:36

Kheb inderdaad de uitkomsten afgerond en heb blijkbaar ook een foutje gemaakt bij het omzetten van de variabelen. In mijn cursus zijn de variabelen nl. aangegeven met een index maar voor de eenvoud hebk die omgezet naar X, Y en Z. Mijn excuses.

Kzou dus moeten vinden:

X = 30/11
Y = 12/11
Z = 18/11

zoals TD dus berekend had.

#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 februari 2005 - 00:37

X  -  Y  - Z = 0  (1)
2X  +      4Z = 12 (2)
2X  + 6Y      = 12 (3)

Dit is in feite het stelsel. Als je hem zo bekijkt dan is deze helemaal niet nodig om moeilijke technieken bij toe te passen. Want (ik heb ze daarom zo mooi onder elkaar gezet) je ziet vrij snel dat 6Y gelijk is aan 4Z. Ofwel Z=1,5Y. Goed kijken naar de eerste vgl levert dan dat X=2,5Y. Nu heb je genoeg informatie om het uit je hoofd op te lossen. Het zijn tenslotte geen grote of moeilijke getallen. En ik geef TD gelijk met zijn uitkomsten in die volgorde, ik krijg op mijn manier dezelfde uitkomsten voor X, Y en Z. Dus ik denk dat jouw antwoorden niet echt juist zijn felix en idd afronden is nooit goed als je het precies kunt noteren!

@ Felix: Zoals ik al had verwacht (maar zelf niet naar had gezocht) kon het ook sneller/makkelijker, zoals hierboven uitgelegd.
Aan de ene kant is het belangrijk dat je dit soort truukjes 'leert', het bespaart je tijd en verschaft je wiskundig inzicht.
Toch was m'n uitwerking (gelukkig) niet voor niets, het is immers een methode die altijd werkt, onafhankelijk van de eenvoud van de getallen of het toevallig "zien" van een deel van de oplossing.

@ Math: Het kon ook niet anders dat er maar één oplossing juist was (en het dus niets te maken had met de methode) vermits een vierkant stelsel van lineair onafhankelijke vergelijkingen altijd één unieke oplossing heeft.

#12


  • Gast

Geplaatst op 03 maart 2005 - 07:59

Er is een techniek die "vegen" heet, waarmee je aan de hand van een coefficientenmatrix snel vergelijkingen bij elkar kunt optellen en aftrekken. Zie LALA 1

#13

Narcose

    Narcose


  • >25 berichten
  • 26 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 03 maart 2005 - 10:57

X = Y + Z (1)
12 - 2X - 4Z = 0 (2)
12 - 2X - 4Y - 2Y = 0 (3)
In Matrix
1  -1	-1	0	
-2	0	-4	-12  r2 + 2r1
-2	-6	0	-12  r3 + 2r1

1	-1	-1	0
0	-2	-6	-12
0	-8	-2	-12  r3 - 4r2

1	-1	-1	0  r3 + 22r1
0	-2	-6	-12  3r3 + 11r2
0	0	22  36

22	-22  0	36  r1 - r2
0	-22	0	-24
0	0	22	36

22	0	0	60
0	-22	0	-24
0	0	22	36

22X = 60
X = 60/22 ~ 2.73

-22Y = -24
Y = 24/22 ~ 1.09

22Z = 36
z = 36/22 ~ 1.64

de onbekende kloppen precies niet in de opgave

#14

Math

    Math


  • >1k berichten
  • 1460 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 maart 2005 - 12:10

Er is een techniek die "vegen" heet, waarmee je aan de hand van een coefficientenmatrix snel vergelijkingen bij elkar kunt optellen en aftrekken. Zie LALA 1

Deze is nóg lastiger als je niet veel inzicht hebt in zulke stelsels...
Trouwens leg even uit dat LALA1 een vak is van de universiteit en eigenlijk staat voor algebra en analyse, maar hoeveel mensen zullende beschikking hebben tot dat dictaat?
<i>Iets heel precies uitleggen roept meestal extra vragen op</i>

#15

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 maart 2005 - 12:15

Uiteraard kan je dit soort zaken oplossen m.b.v. matrices, maar daar zou ik iemand met een beperkte (tot nihile) kennis van algebra niet mee opzadelen.
Eens je bekend bent met matrixrekening is deze methode gewoonlijk sneller, maar dat is'ie niet als je eerst nog algebra moet gaan uitleggen...
De klassieke substitutiemethode is soms tijdrovend maar wel 'wiskundig eenvoudig', er is geen brede achtergrondkennis nodig van algebra noch analyse.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures