Wel, misschien doe ik jullie een plezier met wat leuke vraagjes over het duivenhokprincipe:
- Bewijs dat er een getal van de vorm 20042004...2004 bestaat dat deelbaar is door 2003.
- Bewijs dat elke verzameling van 13 verschillende reële getallen twee getallen a en b bevat zodat
0 < (a - b)/(1 + ab) <= 2 - 3^(1/2).
Laatste berichten
-
23:12
speciale rel. theorie 10
-
22:57
Straatklok loopt 5 minuten voor 11
-
22:57
wig 6
-
22:36
Gravity and gravitation 4
-
22:24
[scheikunde] vraag Chemie - wat is de oplossing? 10
-
19:47
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 10
-
19:44
Vogels in de stad zijn goede klussers 2
-
19:12
Rood laserlicht 3
-
17:30
Herleiden afmetingen vanaf een foto 21
-
16:34
[wiskunde] Prijs Product per KG; Alternatief Inzicht 3
-
13:57
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 9
-
13:16
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 17
-
13:12
[natuurkunde] kroon van koning op Syracuse 10
-
10:15
2013 – Augustus Vraag 3 3
-
24 apr
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
24 apr
positie 2
-
24 apr
Schroefdraad berekening 8
-
24 apr
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
23 apr
Weerfrustratie 9
-
23 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 3
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Duivenhok
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
-
- Berichten: 3.437
Re: Duivenhok
Edit: ONZIN WEG GEHAALD- Bewijs dat er een getal van de vorm 20042004...2004 bestaat dat deelbaar is door 2003.
Geen idee. Zal er eens over nadenken. Heb je zelf het bewijs?- Bewijs dat elke verzameling van 13 verschillende reële getallen twee getallen a en b bevat zodat
0 < (a - b)/(1 + ab) <= 2 - 3^(1/2).
-
- Berichten: 179
Re: Duivenhok
Voor (1):
Sorry, maar je bewijs is fout. Trouwens, 20042004...2004 = 0 (mod 6).
Waarom zou uit 2003 = 5 (mod 6) volgen dat 2003|20042004...2004?
Ik kan je redenering niet volgen. Mijn bewijs steunt op het duivenhokprincipe.
Voor (2):
Ja, ik heb een bewijs
In beide gevallen moet je echt het duivenhokprincipe gebruiken:
Verdeelt men n + 1 duiven over n duivenhokken,
dan bevat minstens één hok minstens twee duiven.
Je moet dan duiven en duivenhokken identificeren met wiskunde.
Voor (2) bijvoorbeeld moet je 13 getallen verdelen over 12 intervallen.
Sorry, maar je bewijs is fout. Trouwens, 20042004...2004 = 0 (mod 6).
Waarom zou uit 2003 = 5 (mod 6) volgen dat 2003|20042004...2004?
Ik kan je redenering niet volgen. Mijn bewijs steunt op het duivenhokprincipe.
Voor (2):
Ja, ik heb een bewijs
In beide gevallen moet je echt het duivenhokprincipe gebruiken:
Verdeelt men n + 1 duiven over n duivenhokken,
dan bevat minstens één hok minstens twee duiven.
Je moet dan duiven en duivenhokken identificeren met wiskunde.
Voor (2) bijvoorbeeld moet je 13 getallen verdelen over 12 intervallen.
-
- Berichten: 3.437
Re: Duivenhok
(1): ja mijn bewijs was onzin. (Had nog geen thee gehad ).
(2): ik neem aan dat de 13 willekeurige getallen allen strikt positief moeten zijn? Of mogen ze ook <0 of 0 zijn?
).(2): ik neem aan dat de 13 willekeurige getallen allen strikt positief moeten zijn? Of mogen ze ook <0 of 0 zijn?
-
- Berichten: 179
Re: Duivenhok
Tjah, ik heb niet gezegd dat het makkelijke oefeningetjes zijn hé
Ze komen niet voor niets uit de voorbereiding van het Belgische team op de IMO
(IMO = Internationale wiskunde olympiade)
Ze komen niet voor niets uit de voorbereiding van het Belgische team op de IMO
(IMO = Internationale wiskunde olympiade)
-
- Berichten: 179
Re: Duivenhok
Wel, ik zal al de oplossing geven voor vraag 1:
Beschouw de 2004 getallen
2004
20042004
200420042004
...
200420042004...200420042004 (2004 keer '2004').
Beschouw de resten van deze getallen modulo 2003.
Er zijn 2003 mogelijke resten maar we hebben 2004 van die getallen.
Volgens het duivenhokprincipe hebben dus twee van die getallen dezelfde rest.
[Beschouw de getallen als duiven en de restklassen als duivenhokken.]
Dus, stel dat a en b dezelfde rest hebben (mod 2003) en van deze vorm zijn.
Dan is |a - b| deelbaar door 2003.
Maar |a - b| is een getal van de vorm 2004...20040000...000.
We kunnen dus stellen dat |a - b| = s*10^t voor natuurlijke getallen s, t.
Hierbij is s opnieuw van de vorm 2004...2004.
Omdat 2003 een deler is van |a - b|, en omdat 2003 en 10^t relatief priem zijn,
is 2003 een deler van s, een getal van de vorm 2004...2004.
Dus we zijn klaar.
Beschouw de 2004 getallen
2004
20042004
200420042004
...
200420042004...200420042004 (2004 keer '2004').
Beschouw de resten van deze getallen modulo 2003.
Er zijn 2003 mogelijke resten maar we hebben 2004 van die getallen.
Volgens het duivenhokprincipe hebben dus twee van die getallen dezelfde rest.
[Beschouw de getallen als duiven en de restklassen als duivenhokken.]
Dus, stel dat a en b dezelfde rest hebben (mod 2003) en van deze vorm zijn.
Dan is |a - b| deelbaar door 2003.
Maar |a - b| is een getal van de vorm 2004...20040000...000.
We kunnen dus stellen dat |a - b| = s*10^t voor natuurlijke getallen s, t.
Hierbij is s opnieuw van de vorm 2004...2004.
Omdat 2003 een deler is van |a - b|, en omdat 2003 en 10^t relatief priem zijn,
is 2003 een deler van s, een getal van de vorm 2004...2004.
Dus we zijn klaar.
-
- Berichten: 3.437
Re: Duivenhok
Leuk!
Wil je ook het bewijs voor de tweede stelling posten? Ik denk namelijk niet dat iemand ermee komen gaat....
Mijn gevoel is dat het ongeveer zo gaat:
1) deel (-oo , oo) op in 12 delen zodanig dat voor a,b element twee willekeurige delen de stelling niet geldt en voor a,b element het zelfde deel de stelling altijd geldt.
Waarschijnlijk deel je dus [0, oo) op in zes delen, want het probleem is a <-> b symmetrisch.
Toen had ik geen zin meer om het allemaal uit te schrijven...
Wil je ook het bewijs voor de tweede stelling posten? Ik denk namelijk niet dat iemand ermee komen gaat....
Mijn gevoel is dat het ongeveer zo gaat:
1) deel (-oo , oo) op in 12 delen zodanig dat voor a,b element twee willekeurige delen de stelling niet geldt en voor a,b element het zelfde deel de stelling altijd geldt.
Waarschijnlijk deel je dus [0, oo) op in zes delen, want het probleem is a <-> b symmetrisch.
Toen had ik geen zin meer om het allemaal uit te schrijven...
-
- Berichten: 179
Re: Duivenhok
Ja, die tweede vraag ... ik ben er dol op Je moet weten, die is echt niet gemakkelijk.
Vorig jaar op de training voor de IMO losten er slechts 2 van de 15 die vraag op.
En ja, ik was er één van
Noem de gegeven getallen s_1, s_2, ..., s_13. Stel t_i = arctan(s_i) voor i = 1, 2, ..., 13.
Dan hebben we dertien getallen t_i, allen in [-pi/2, pi/2].
Verdeel dit interval [-pi/2, pi/2] in twaalf deelintervallen van gelijke lengte (pi/12).
Dit zijn dus de intervallen [-pi/2, -5pi/12], ..., [5pi/12, pi/2].
We hebben 13 t_i's, dus volgens het duivenhokprincipe liggen er 2 in één interval.
Dan geldt voor zekere indices p, q dat 0 <= t_p - t_q <= pi/12.
We nemen van deze uitdrukking de tangens.
De tangensfunctie stijgt op [-pi/2, pi/2] dus geldt er:
0 <= tan(t_p - t_q) <= tan(pi/12) = 2 - 3^(1/2)
0 <= (s_p - s_q)/(1 + s_p*s_q) <= 2 - 3^(1/2).
We stellen nu s_p = a en s_q = b, en we zijn klaar.
Je moet weten, die is echt niet gemakkelijk.Vorig jaar op de training voor de IMO losten er slechts 2 van de 15 die vraag op.
En ja, ik was er één van
Noem de gegeven getallen s_1, s_2, ..., s_13. Stel t_i = arctan(s_i) voor i = 1, 2, ..., 13.
Dan hebben we dertien getallen t_i, allen in [-pi/2, pi/2].
Verdeel dit interval [-pi/2, pi/2] in twaalf deelintervallen van gelijke lengte (pi/12).
Dit zijn dus de intervallen [-pi/2, -5pi/12], ..., [5pi/12, pi/2].
We hebben 13 t_i's, dus volgens het duivenhokprincipe liggen er 2 in één interval.
Dan geldt voor zekere indices p, q dat 0 <= t_p - t_q <= pi/12.
We nemen van deze uitdrukking de tangens.
De tangensfunctie stijgt op [-pi/2, pi/2] dus geldt er:
0 <= tan(t_p - t_q) <= tan(pi/12) = 2 - 3^(1/2)
0 <= (s_p - s_q)/(1 + s_p*s_q) <= 2 - 3^(1/2).
We stellen nu s_p = a en s_q = b, en we zijn klaar.
-
- Berichten: 3.437
Re: Duivenhok
Ziet er allemaal heel erg leuk uit! 8) Daar was ik nooit op gekomen.
Ik voel me een beetje dom, maar ik zie even de laatste stap niet:
Ik voel me een beetje dom, maar ik zie even de laatste stap niet:
waarom geldt dit voor alle t_p en t_q? (ik=dom)Ernie schreef:0 <= tan(t_p - t_q) <= tan(pi/12) = 2 - 3^(1/2)
0 <= (t_p - t_q)/(1 + t_p*t_q) <= 2 - 3^(1/2).
-
- Berichten: 3.437
Re: Duivenhok
Laat maar, ik was de volgende identiteit even vergeten:
tan(x+y) = [tan(x) + tan(y)] / [1 - tan(x)*tan(y)]
tan(x+y) = [tan(x) + tan(y)] / [1 - tan(x)*tan(y)]
-
- Berichten: 179
Re: Duivenhok
Ja, die probleempjes over het duivenhokprincipe zijn echt leuk.
Hier is er een heel gemakkelijk:
Men plaatst 51 punten binnen een vierkant met zijden van lengte 1.
Bewijs dat er een cirkel met straal 1/7 bestaat die minstens 3 van deze punten bedekt.
Hier is er een heel gemakkelijk:
Men plaatst 51 punten binnen een vierkant met zijden van lengte 1.
Bewijs dat er een cirkel met straal 1/7 bestaat die minstens 3 van deze punten bedekt.
-
- Berichten: 179
Re: Duivenhok
Aangezien niemand reageert zal ik zelf dan maar de oplossing geven:
Verdeel het vierkant in 25 kleine vierkantjes met zijde 1/5.
We hebben 51 punten en 25 vierkantjes, dus er liggen 3 punten in één vierkantje.
(Dit is inderdaad het duivenhokprincipe ietwat anders geformuleerd.)
Een cirkel met straal 1/7 kan een vierkantje met straal 1/5 volledig bedekken.
(Dat volgt uit de stelling van Pythagoras.)
Dus er zullen drie punten bedekt worden door één cirkelschijf.
Verdeel het vierkant in 25 kleine vierkantjes met zijde 1/5.
We hebben 51 punten en 25 vierkantjes, dus er liggen 3 punten in één vierkantje.
(Dit is inderdaad het duivenhokprincipe
ietwat anders geformuleerd.)Een cirkel met straal 1/7 kan een vierkantje met straal 1/5 volledig bedekken.
(Dat volgt uit de stelling van Pythagoras.)
Dus er zullen drie punten bedekt worden door één cirkelschijf.
Re: Duivenhok
1) n mensen bevinden zich in een kamer. Toon aan dat er minstens 2 mensen zijn die evenveel kennissen hebben.
2) Op het ZxZ-rooster kiezen we 5 punten. Toon aan dat er tussen die 5 punten steeds 2 punten zijn zodat het lijnstuk tussen die 2 punten door een roosterpunt gaat.
3) In elke convexe 2n-hoek is er een diagonaal die niet parallel is met 1 van de zijden. (gaat niet op voor veelhoeken met een oneven aantal zijden)
4) Tussen 52 verschillende gehele getallen kan men er steeds 2 selecteren zodat hun som of verschil een veelvoud van 100 is.
2) Op het ZxZ-rooster kiezen we 5 punten. Toon aan dat er tussen die 5 punten steeds 2 punten zijn zodat het lijnstuk tussen die 2 punten door een roosterpunt gaat.
3) In elke convexe 2n-hoek is er een diagonaal die niet parallel is met 1 van de zijden. (gaat niet op voor veelhoeken met een oneven aantal zijden)
4) Tussen 52 verschillende gehele getallen kan men er steeds 2 selecteren zodat hun som of verschil een veelvoud van 100 is.
-
- Berichten: 3.437
Re: Duivenhok
De eerste vraag begrijp ik al niet eens.
Je zegt dus dat als jij en ik (n=2) samen in een kamer zitten zonder anderen erbij, dat jij dan kan bewijzen dat wij evenveel kennissen hebben? Dat snap ik niet (en ik denk ook niet dat het klopt).
Je zegt dus dat als jij en ik (n=2) samen in een kamer zitten zonder anderen erbij, dat jij dan kan bewijzen dat wij evenveel kennissen hebben? Dat snap ik niet (en ik denk ook niet dat het klopt).
Never underestimate the predictability of stupidity...
