Transcendente getallen en complexe getallen

bats

Ik zal eerst maar eens bij vraag 1 beginnen.

1. Naast getallen die je niet als breuk kunt schrijven, zgn algebraïsche getallen, bijv. de wortel uit 2, heb je ook nog de transquedente getallen, zoals pi en e.

Nu weet ik dat alle wortels of het nu 3e machts wortels of hogere machtswortels zijn, het zijn allemaal algebraïsche getallen. En is dat niet het geval zoals sin5, ln10, 2log7, dan zijn het transquedente getallen.

Maar ik heb vaak zat gehoord dat bijv pi^e, of e^ln10, om maar een voorbeeld te noemen, het niet 100% zeker is of deze nu wel of niet transquedent zijn.

Maar wat voor soort getallen moet het dan wel zijn?

Ik zeg dat ik zeker weet dat pi^e (of e^ln10) een transquedent getal is, want ik kan het niet als een breuk schrijven, noch als een wortelgetal, dus transquedent. Want wat moet het dan anders zijn?

Heeft de verzameling R (de irrationele getallen) dan naast wortels en transquedente getallen ook nog andere soorten (irrationele)getallen? Zoals "supertransquedent" ?

2. Vraag 2 gaat over getallen verzameling.

N is de verzameling van alle gehele positive getallen bij 0 beginnen tot aan + oneindig

Z is alle gehele positive en alle gehele negative getallen, van -oneindig tot +oneindig

Q is alle gehele positive en negative, en alle breuken, zowel positive breuken als negative breuken, zoals 1/7, -3/19

R is alle reeële getallen, zowel geheel positief als negatief, plus de breuken en alle wortels en transquedente getallen (misschien ook de zgn "supertransquedente" getallen?). Zoals sqrt5, ln10, e^pi.

Dan is er nog de verzameling van alle complexe getallen, zoals sqrt-4, wat 2i is.

Nu vraag ik me af tot welke verzameling behoren alle logaritmen uit NEGATIVE getallen?

De logaritme uit 1 is altijd 0, en uit 0 is -oneindig, maar wat is de logaritme uit -2 en tot welke getallen verzameling behoort deze?

Ik dacht zelf tot de verzameling C, van complexe getallen. Maar zijn er nog meer verzamelingen of is het met C alles?

TD

Even een algemene opmerking: het zijn transcendente getallen

Als je een reëel getal kan schrijven als een breuk, is het een rationaal getal, anders is het een irrationaal getal. Een (reëel of complex) getal dat een oplossing is van een veeltermvergelijking (met gehele coëfficiënten), noemen we een algebraïsch getal. Dit zijn voor alle duidelijkheid NIET altijd rationale getallen (dus te schrijven als een breuk). Zo is sqrt(2) algebraïsch, want het is een oplossing van x² = 2. Maar het is niet te schrijven als een breuk, het is een irrationaal getal. De verzameling R zijn de reële getallen, dat zijn niet alleen de irrationale, maar ook de rationale getallen.

Je haalt dus een aantal getalverzamelingen door elkaar. De definities kan je met meer uitleg en voorbeelden vinden op bijvoorbeeld wikipedia. Van sommige getallen die je krijgt als een bewerking van irrationale getallen, is het bijvoorbeeld niet geweten of ze ook irrationaal zijn; dat klopt. Hetzelfde geldt voor transcendente getallen (bvb: pi+e).

De getalverzamelingen: N inderdaad natuurlijk en Z geheel, Q is gewoon alle breuken (daarmee heb je ze allemaal...). R is inderdaad reëel en dat is, zoals al gezegd, rationaal én irrationaal. Als je de logaritme uitbreidt van R naar C, kan je ook de logaritme van negatieve getallen nemen. Het resultaat zit dan in C. Het eindigt niet met C, voor andere verzamelingen: zie hier.

Math-E-Mad-X

Ik zeg dat ik zeker weet dat pi^e (of e^ln10) een transquedent getal is, want ik kan het niet als een breuk schrijven, noch als een wortelgetal, dus transquedent.

Je zegt dat je ze niet als 'wortelgetal' kunt schrijven, maar kun je ook bewijzen dat dat echt niet mogelijk is? Ik bedoel, je kan zoveel beweren...

Rogier

Ik zeg dat ik zeker weet dat pi^e (of e^ln10) een transquedent getal is, want ik kan het niet als een breuk schrijven, noch als een wortelgetal, dus transquedent. Want wat moet het dan anders zijn?

Let op dat het niet simpelweg "een wortelgetal" hoeft te zijn, maar een nulpunt van een veelterm met gehele coëfficienten. Dus ook samengestelde wortels en andere rationele machten van rationele getallen zijn algebraïsch, evenals sommen en producten daarvan.

Als jij zeker weet dat er geen enkele veelterm bestaat waarvan

\(\pi^e\)

een nulpunt is, moet je dat kunnen bewijzen.

bats

Rogier schreef:Let op dat het niet simpelweg "een wortelgetal" hoeft te zijn, maar een nulpunt van een veelterm met gehele coëfficienten. Dus ook samengestelde wortels en andere rationele machten van rationele getallen zijn algebraïsch, evenals sommen en producten daarvan.

Als jij zeker weet dat er geen enkele veelterm bestaat waarvan
\(\pi^e\)
een nulpunt is, moet je dat kunnen bewijzen.

Ik dacht dat pi^e transcedent was of is, omdat pi transcedent is en e transcedent is, in feite is dat ook een samenstelling van reële getallen, en in dit geval 2 transcedente getallen. Dus dacht ik dan moet het wel een transcedent getal zijn.

En dan is er nog iets wat ik niet begrijp aan complexe getallen.

En dat is: "i" is de wortel uit -1, want i^2=-1, maar als ik i^4 doe, dan kan dat weer niet, volgens mijn calculator. Ik heb er een waar ik mee kan rekenen met complexe getallen, dus met getal i. Als ik i^3 doe dan krijg ik -i en als ik de wortel uit i neem dan geeft die ook error aan, evenals de logaritme uit i, de sin, cos, tan van i, als ik een reëel getal, bijv. 2 tot de macht i doe, dus 2^i, ook error.

Waarom kan dat allemaal niet? Je hebt toch te maken met complexe getallen, dan zouden dat soort dingen toch wel kunnen met mijn calculator?

Of ligt dat gewoon aan die calculator, dat ik maar beperkt met complexe getallen kan werken ermee?

eendavid

Ik dacht dat pi^e transcedent was of is, omdat pi transcedent is en e transcedent is, in feite is dat ook een samenstelling van reële getallen, en in dit geval 2 transcedente getallen. Dus dacht ik dan moet het wel een transcedent getal zijn.

Je hebt zelf al een tegenvoorbeeld gegeven voor dergelijke redeneringen. Typ eens

\(e^{\ln(10)}\)

in op een rekenmachine...

Je andere vraag zal wel aan je rekenmachine liggen. Hoewel dit niet in het middelbaar wordt onderwezen bestaat er wel zoiets als sin(i).

\(i^4\)

zou je zelf moeten kunnen uitrekenen.

Een opmerking trouwens. Let op met "i is de vierkantswortel van -1", dat is nonsens. Het nemen van de vierkantswortel is geen functie op de complexe getallen (ook -i voldoet aan (-i)²=-1, of enkele quaternionen, of...). Dus je rekenmachine zou mogen klagen wanneer je

\(i^{1/2}\)

intypt (tenzij het zelf een keuze maakt).

dirkwb

Ik heb er een waar ik mee kan rekenen met complexe getallen, dus met getal i. Als ik i^3 doe dan krijg ik -i en als ik de wortel uit i neem dan geeft die ook error aan, evenals de logaritme uit i, de sin, cos, tan van i, als ik een reëel getal, bijv. 2 tot de macht i doe, dus 2^i, ook error.

Ik heb een TI-83+ en deze kan wel [wortel]i en 2ⁱ uitrekenen, verder is het nemen van de log sin cos en tan van i niet mogelijk op de GR. De GR neemt de hoofdwaarde van deze getallen heb ik gemerkt.

TD

Of ligt dat gewoon aan die calculator, dat ik maar beperkt met complexe getallen kan werken ermee?

Dat zal een beperking van je rekenmachine zijn.

Gehele machten van i kan je gemakkelijk zelf uitrekenen:

i = i

i² = -1

i³ = i.i² = i(-1) = -i

i^4 = i²i² = (-1)² = 1

i^5 = i.i^4 = i

...

Het rijtje i,-1,-i,1 herhaalt zich dus gewoon.

bats

Je hebt zelf al een tegenvoorbeeld gegeven voor dergelijke redeneringen. Typ eens
\(e^{\ln(10)}\)
in op een rekenmachine...

Dat van e^ln10 heb ik totaal over het hoofd gezien, natuurlijk is dat 10! Mijn excuus daarvoor.

Ik had beter bijv sqrt5^ln5 kunnen doen, want dat is zeker weten geen geheel getal.

eendavid

wat ik bedoel is dat volgende niet geldt (terwijl je dat gebruikt in je bewijs):

zij a,b transcendente getallen, dan is

\(a^b\)

een transcendent getal.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Transcendente getallen en complexe getallen

Transcendente getallen en complexe getallen

Re: Transcendente getallen en complexe getallen

Re: Transcendente getallen en complexe getallen

Re: Transcendente getallen en complexe getallen

Re: Transcendente getallen en complexe getallen

Re: Transcendente getallen en complexe getallen

Re: Transcendente getallen en complexe getallen

Re: Transcendente getallen en complexe getallen

Re: Transcendente getallen en complexe getallen

Re: Transcendente getallen en complexe getallen