Van SI- naar natuurlijke eenheden

Moderator: physicalattraction

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer

Bericht 01-04-'08, 22:56

Phys

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Van SI- naar natuurlijke eenheden

Ik heb wat moeite met het omrekenen van SI-eenheden naar natuurlijke eenheden.

In natuurlijke eenheden geldt
\(\hbar=c=1\)
en beide dimensieloos. Dan geldt
\(1 [m]=a [J]^{-1}\)
(m is meter en J is Joule). Wat is nu a?

Ik redeneerde als volgt: het linkerlid kunnen we ook schrijven (SI-eenheden) als
\(\frac{\hbar c [J\cdot m]}{|\hbar c|}[J]^{-1}\)
Waarbij
\(|\hbar c|\)
de grootte is, de numerieke waarde van het product, eenheidsloos.

Dus als we dit uitrekenen in natuurlijke eenheden geldt dat
\(\hbar c [J\cdot m]=1\)
(dimensieloos). Dus dat resulteert dan in
\(a=\frac{1}{|\hbar c|}=\frac{1}{3.15\cdot 10^{-26}}\)
Klopt dit?
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -
Omhoog

Bericht 02-04-'08, 08:57

thermo1945

Gebruikersavatar
Berichten: 3.112

Re: Van SI- naar natuurlijke eenheden

Ik heb moeite met
\(1 [m]=a [J]^{-1}\)
(m is meter en J is Joule).
Omhoog

Bericht 02-04-'08, 17:37

Phys

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: Van SI- naar natuurlijke eenheden

Als je h-bar en c gelijkstelt aan dimensieloze 1, volgt daaruit dat lengte de eenheid van 1/energie krijgt. Mee eens?

Nu wordt gevraagd "hoeveel 1/energie" gelijk is aan 1 meter. Anders gezegd:

stel je hebt twee mensen: de één meet in SI-eenheden, en de ander meet in natuurlijke eenheden.

De ene pakt een meetlat van exact 1 meter en vraagt aan de ander: "hoe lang is deze lat?" Hij zal dan zeggen: "die lat is a [Joule]-1."

Nu wil ik weten wat de waarde van a is.
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -
Omhoog

Bericht 03-04-'08, 00:32

thermo1945

Gebruikersavatar
Berichten: 3.112

Re: Van SI- naar natuurlijke eenheden

hbar = mvr en c = v, zeg maar, dus hbar/c = mr. Ik mis nog een door jou gekozen basisgrootheid.. Of een massa of een lengte of een impuls die je dan ook als natuurlijke basisgrootheid kiest. Je hebt drie onafhankelijke basisgrootheden nodig om alle mechanische grootheden te beschrijven, zowel in SI als in natuurlijke eenheden.
Omhoog

Bericht 04-04-'08, 12:05

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Van SI- naar natuurlijke eenheden

Is dit een wat langlopende 1-april-grap?
Omhoog

Bericht 04-04-'08, 15:51

Phys

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: Van SI- naar natuurlijke eenheden

Doel je op mijn openingsbericht? Zo ja, dan zou ik graag weten wat er aan mankeert. Dit is namelijk een (deel van een) vraag uit mijn cursus Deeltjesfysica.
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -
Omhoog

Bericht 07-04-'08, 23:58

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Van SI- naar natuurlijke eenheden

Doel je op mijn openingsbericht? Zo ja, dan zou ik graag weten wat er aan mankeert.
Ik vond het nogal hak op de takkerig. Ik dacht: "Die probeert eens lekker vaag uit de hoek te komen op 1 april."

Ik zou zeggen:
\(\frac{T^2}{M \cdot L^2} \cdot \frac{L^2 \cdot M}{T} \cdot \frac{L}{T} = L\)
\(\frac{1}{E} \cdot \hbar \cdot c = L\)
\(\frac{1}{E} = \frac{L}{\hbar \cdot c}\)
\(\frac{1}{[J]} = \frac{1}{\hbar \cdot c} [m] \rightarrow a = \frac{1}{\hbar \cdot c}\)
Omhoog

Bericht 08-04-'08, 09:35

thermo1945

Gebruikersavatar
Berichten: 3.112

Re: Van SI- naar natuurlijke eenheden

Opmerking: [m] betekent de eenheid van m (en is in SI kg).

{m} betekent het aantal eenheden. Dus m = {m}[m].

Dit principe geldt voor elke fysische grootheid.

Dit is in bovenstaande niet correct gebruikt.
Omhoog

Bericht 08-04-'08, 14:51

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Van SI- naar natuurlijke eenheden

thermo1945 schreef:Opmerking: [m] betekent de eenheid van m (en is in SI kg).

{m} betekent het aantal eenheden. Dus m = {m}[m].

Dit principe geldt voor elke fysische grootheid.
Ik heb dit in ieder geval nog nooit ergens zo gezien...
Omhoog

Bericht 08-04-'08, 22:27

Phys

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: Van SI- naar natuurlijke eenheden

\(\frac{1}{[J]} = \frac{1}{\hbar \cdot c} [m] \rightarrow a = \frac{1}{\hbar \cdot c}\)
a wordt gegeven door
\(1[m]=a[J]^{-1}\)
, dus uit bovenstaande volgt dat
\(a=\hbar c\)
, toch?
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -
Omhoog

Bericht 08-04-'08, 22:51

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Van SI- naar natuurlijke eenheden

a wordt gegeven door
\(1[m]=a[J]^{-1}\)
, dus uit bovenstaande volgt dat
\(a=\hbar c\)
, toch?
Klopt.
Omhoog

Bericht 09-04-'08, 00:03

Phys

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: Van SI- naar natuurlijke eenheden

Dan begrijp ik het niet (ik dacht eerst: fijn, hetzelfde antwoord als ik, maar het is dus precies 'verkeerd om').

Hoezo is de stap van
\(\frac{T^2}{M \cdot L^2} \cdot \frac{L^2 \cdot M}{T} \cdot \frac{L}{T} = L\)
naar
\(\frac{1}{E} \cdot \hbar \cdot c = L\)
geoorloofd?

Je zegt dan dat
\(\hbar\)
gelijk is aan
\(\frac{L^2M}{T}\)
en dat c gelijk is aan L/T.

Maar het klopt alleen dat hbar de dimensie van ML^2/T heeft en dat c de dimensie van L/T heeft. Ik bedoel, je had dan toch net zo goed kunnen zeggen
\(\frac{1}{E} \cdot 45\hbar \cdot 56.8c = L\)
(om maar eens wat getallen te nemen)?

Daarom stelde ik dat
\(\frac{L}{T}=\frac{c}{|c|}\)
. Oftewel,
\(c=|c|\cdot 1m\cdot s^{-1}\)
, dus ik compenseer als het ware voor de numerieke waarde van c om in het rechterlid
\(1[m/s]\)
te krijgen i.p.c.
\(3.10^8 [m/s]\)
.

Ik begrijp dat mijn notatie vreemd zal zijn, maar ik heb hierover nog helemaal niets gelezen of te horen gekregen; ik probeer het te begrijpen maar ben volledig verward.
Never express yourself more clearly than you think.

- Niels Bohr -
Omhoog

Bericht 09-04-'08, 03:03

eendavid

Gebruikersavatar
Berichten: 3.751

Re: Van SI- naar natuurlijke eenheden

Dergelijke problemen los je altijd als volgt op. Je doet een berekening (hier is dat al gebeurd), bekomt een vergelijking (eventueel met bepaalde eenheden) en vermenigvuldigt dan met \(c\) en \(\hbar\) tot je eenheden in de vergelijking goed zijn (als dat niet kan, wat niet onmogelijk is wegens thermos opmerking, dan heb je een fout gemaakt). Herinner je, er staan daar eigenlijk wel eenheden maar omwille van bovenstaande truck is het niet zo belangrijk ze te schrijven tijdens de berekening. Dit is als volgt toe te passen op:
\(a=1 m J\)
We willen een grootheid uit \(c\) en \(\hbar\) die de dimensie m J heeft, dat is \(\hbar c\). We schrijven deze nu, zo dat de eenheden in het stelsel kloppen:
\(a \hbar c=1 m J\)
\(a=\frac{1 m J}{\hbar c}\)
Het openingsantwoord was dus correct.

Bedenk trouwens dat als je naar de oorspronkelijke vergelijking kijkt enige voeling met grootte-ordes snel leert dat a heel groot moet zijn: je probeert m(vrij groot)J(gigantisch) uit te drukken in natuurlijke eenheden. (dit argument is niet volledig juist om redenen die thermo gaf, maar is toch min of meer het vermelden waard)
Omhoog

Bericht 09-04-'08, 11:01

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Van SI- naar natuurlijke eenheden

Ik ben nog niet overtuigd.

Stel we willen tijd uitdrukken in meters. We zoeken dus een \(a\) zodat geldt:
\(1 [s] = a [m]\)
In natuurlijke eenheden is dit allemaal appeltje eitje:
\(1 = 1\)
Beide kanten even omrekenen met planck lengte en planck tijd en je krijgt:
\(5.39121 \cdot 10^{-44} [s] = 1.616252 \cdot 10^{-35} [m]\)
\(1 [s] = \frac{1.616252 \cdot 10^{-35}}{5.39121 \cdot 10^{-44}} [m] = c [m]\)
Dit verband is logisch aangezien een bepaalde periode tijd nu weergegeven wordt door de afstand die licht in vacuum aflegt in deze tijd, ofwel:
\(x = c \cdot t\)
Volgens mij kun je op een zelfde manier het verband uitrekenen bij de oorspronkelijke vraag. Ik denk dat ik dit in mijn vorige post gedaan heb en dat daaruit volgt dat \(a = \hbar c\).

Kan iemand aangeven waarom dit verhaal hierboven niet zou kloppen?
Omhoog

Bericht 09-04-'08, 17:06

eendavid

Gebruikersavatar
Berichten: 3.751

Re: Van SI- naar natuurlijke eenheden

Ik begrijp je post #7 niet. Je start met een gelijkheid in 1 en dezelfde eenheid, en interpreteert daarna een deel van je symbolen in natuurlijke eenheden en een deel van je symbolen in SI-eenheden. Zover ik er zicht op heb, moet in jou vergelijking [m] en [J] geinterpreteerd worden als de natuurlijke eenheden (immers, zoals het er nu staat beweer je dat
\(1=\frac{[m][J]}{\hbar c}=\frac{1}{10^{-26}}\)
), zodat er gewoon 1=1 staat (dat is niet zo verwonderlijk als je met die vergelijking start). Wat je wel kan dus is het boeltje dat jij vervangt door
\(\hbar c\)
vervangen door
\(\frac{L^2M}{T}\frac{L}{T}\frac{\hbar c}{\hbar c}=\frac{l^3m/t^2}{|\hbar c|}\)
met kleine letters de natuurlijke eenheden, die je daarna mag laten vallen. Dan komt er wel het goede antwoord uit (maar blijft de filosofie verwarrend).

Voorgaande oefening kom je wel op het juiste resultaat (ik zie niet in hoe de filosofie daar hetzelfde is als in 7), hoewel in voor mij zeer verwarrende taal.
\(s=am\)
herschrijven we zoals uitgelegd:
\(\frac{s}{m}=\frac{a}{c}\)
\(a=\frac{c}{m/s}\)
edit: ivm #7 en de mogelijkheid om daar het juist antwoord uit te krijgen.
Omhoog
Reageer

Terug naar “Natuurkunde”