Springen naar inhoud

Een reeks


  • Log in om te kunnen reageren

#1


  • Gast

Geplaatst op 05 april 2005 - 18:33

Beste mensen,

Kan iemand mij verklaren waarom de reeks 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,..... niet sommeerbaar is (er komt geen iend aan), en waarom deze reeks dus doorloop naar oneindig?

Sommige meetkundige rijen zijn namelijk sommeerbaar (vanaf een bepaald moment tel je zó weinig meer op bij het voorgaande dat het bijna geen verschil meer maakt voor de uitkomst), andere niet.

Volgens mij heeft een bekende wiskundige een uitspraak gedaan over het probleem, maar ik weet het niet zeker, vandaar dat ik dit biricht post.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2


  • Gast

Geplaatst op 05 april 2005 - 18:41

Beste mensen,

Kan iemand mij verklaren waarom de reeks 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,..... niet sommeerbaar is (er komt geen iend aan), en waarom deze reeks dus doorloop naar oneindig?

Sommige meetkundige rijen zijn namelijk sommeerbaar (vanaf een bepaald moment tel je zó weinig meer op bij het voorgaande dat het bijna geen verschil meer maakt voor de uitkomst), andere niet.

Volgens mij heeft een bekende wiskundige een uitspraak gedaan over het probleem, maar ik weet het niet zeker, vandaar dat ik dit biricht post.

noem ie reeks f(n)= 1+1/2+..+1/(n-1)+1/n.
eigenlijk geldt er f(n+1)-f(n)=1+1/2+..+1/(n-1)+1/n+1/(n+1)-(1+1/2+..+1/(n-1)+1/n)=1/(n+1)

f(n+1)-f(n)=1/(n+1)
dus die reeks f(n) is strikt stijgend, als n dus oneindig groot wordt, dan is f(n) ook oneindig groot. en je weet vast wel dat 'oneindig' geen getal is...

#3

rodeo.be

    rodeo.be


  • >250 berichten
  • 647 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 april 2005 - 19:48

Beste mensen,

Kan iemand mij verklaren waarom de reeks 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,..... niet sommeerbaar is (er komt geen iend aan), en waarom deze reeks dus doorloop naar oneindig?

Sommige meetkundige rijen zijn namelijk sommeerbaar (vanaf een bepaald moment tel je zó weinig meer op bij het voorgaande dat het bijna geen verschil meer maakt voor de uitkomst), andere niet.

Volgens mij heeft een bekende wiskundige een uitspraak gedaan over het probleem, maar ik weet het niet zeker, vandaar dat ik dit biricht post.

noem ie reeks f(n)= 1+1/2+..+1/(n-1)+1/n.
eigenlijk geldt er f(n+1)-f(n)=1+1/2+..+1/(n-1)+1/n+1/(n+1)-(1+1/2+..+1/(n-1)+1/n)=1/(n+1)

f(n+1)-f(n)=1/(n+1)
dus die reeks f(n) is strikt stijgend, als n dus oneindig groot wordt, dan is f(n) ook oneindig groot. en je weet vast wel dat 'oneindig' geen getal is...

dit lijkt me larie....
f(n)=1/2+1/4+1/8+...+1/2**n
is ook strikt stijgend....en zou ook naar oneindig moeten gaan dan :shock:

de reden is: de tweede is begrensd, de eerste niet
???

#4


  • Gast

Geplaatst op 05 april 2005 - 20:11

Beste mensen,

Kan iemand mij verklaren waarom de reeks 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,..... niet sommeerbaar is (er komt geen iend aan), en waarom deze reeks dus doorloop naar oneindig?

Sommige meetkundige rijen zijn namelijk sommeerbaar (vanaf een bepaald moment tel je zó weinig meer op bij het voorgaande dat het bijna geen verschil meer maakt voor de uitkomst), andere niet.

Volgens mij heeft een bekende wiskundige een uitspraak gedaan over het probleem, maar ik weet het niet zeker, vandaar dat ik dit biricht post.

noem ie reeks f(n)= 1+1/2+..+1/(n-1)+1/n.
eigenlijk geldt er f(n+1)-f(n)=1+1/2+..+1/(n-1)+1/n+1/(n+1)-(1+1/2+..+1/(n-1)+1/n)=1/(n+1)

f(n+1)-f(n)=1/(n+1)
dus die reeks f(n) is strikt stijgend, als n dus oneindig groot wordt, dan is f(n) ook oneindig groot. en je weet vast wel dat 'oneindig' geen getal is...

dit lijkt me larie....
f(n)=1/2+1/4+1/8+...+1/2**n
is ook strikt stijgend....en zou ook naar oneindig moeten gaan dan :shock:

de reden is: de tweede is begrensd, de eerste niet

heeft deze ook een bepaald reeel getal als waarde?

#5

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 april 2005 - 20:19

heeft deze ook een bepaald reeel getal als waarde?

Ja, 1.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#6


  • Gast

Geplaatst op 05 april 2005 - 20:30

heeft deze ook een bepaald reeel getal als waarde?

Ja, 1.

herstel:

http://forum.scholie...13#post15795513

#7

Revelation

    Revelation


  • >1k berichten
  • 2364 berichten
  • Technicus

Geplaatst op 05 april 2005 - 20:50

Het is eigenlijk simpel, met oneindige getallen valt niet te rekenen. Daarom is er een limiet-functie.

Kijk hier eens naar:

x = 0.99999999999...... (oneindig = ...)
10x = 9.99999999999...... (maal 10)
10x - x = 9.999999999..... - 0.999999999999..... (aftrekken)
9x = 1
x = 1

Maar daarboven was x nog 0.99999999! Zo zie je dat 0.999999999... gelijk is aan 1 hoe gek het ook mag klinken.


EDIT: verduidelijking waarom ik dit post: een getal wordt dusdanig klein, en de som blijft altijd doorgaan. Je kan alleen rekenen met iets dat een einde heeft.
“Quotation is a serviceable substitute for wit.” - Oscar Wilde

#8

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 april 2005 - 20:51

Beste mensen,

Kan iemand mij verklaren waarom de reeks 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,..... niet sommeerbaar is (er komt geen iend aan), en waarom deze reeks dus doorloop naar oneindig?

We noemen een rij x0, x1, x2, ... sommeerbaar als limk[pijltje]:?: [sum_k] xn bestaat. Die limiet noemen we dan [sum_inf] xn.

Een noodzakelijke (doch niet voldoende) voorwaarde hiervoor is in ieder geval dat limk[pijltje]:?:xk=0.

Dat een rij als 1/2, 1/4, 1/8, ... sommeerbaar is (en als som 1 heeft) kun je zien doordat 1/2+1/4+1/8+...+2-n = 1-2n voor iedere n, en dus limiet L=1 heeft, want voor iedere epsilon.gif>0 is er altijd een N (namelijk -2log(epsilon.gif) afgerond naar boven) zodat |1/2+1/4+1/8+...+2-n - L| ;) epsilon.gif :?: n[grotergelijk]N.


Dat de rij [sum_inf] 1/(n+1) niet sommeerbaar is kun je als volgt zien:

De termen 1/(2k+1) t/m 1/(2k+1), dat zijn er zijn 2k stuks, zijn allemaal ;) 1/(2(k+1)) = 2-(k+1). En 2k[.]2-(k+1) = 1/2, dus eigenlijk tel je oneindig veel stukken op die allemaal :oops: 1/2 zijn.
Als je het uitschrijft:

1 + (1/2) + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 ) + ...
:shock:
1 + (1/2) + (1/4 + 1/4) + (1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 ) + ...
=
1 + (1/2) + (1/2) + (1/2) + ...

Kortom, 1+1/2+1/3+1/4+...+1/(2k) ;) k/2 [vooralle]k[element]:oops:. Dus [sum_inf] 1/(n+1) = ;).
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#9

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 april 2005 - 21:02

noem ie reeks f(n)= 1+1/2+..+1/(n-1)+1/n.
eigenlijk geldt er f(n+1)-f(n)=1+1/2+..+1/(n-1)+1/n+1/(n+1)-(1+1/2+..+1/(n-1)+1/n)=1/(n+1)

f(n+1)-f(n)=1/(n+1)
dus  die  reeks f(n) is strikt stijgend

Uiteraard, als je alleen maar positieve termen bij elkaar optelt, worden de partiële sommen (de f(n)-en) steeds groter.

als n dus oneindig groot wordt, dan is f(n) ook oneindig groot

Nee, dat kun je niet zeggen. Zie boven, het voorbeeld met f(n) = 1-2-n. Daar is f(n) strikt stijgend maar beslist begrensd (namelijk <1).


herstel:
http://forum.scholie...13#post15795513

Daar wordt over een paar vragen door elkaar gesproken, wat bedoel je precies?


[sum_inf] (1/2)n+1 is in ieder geval 1 (zoals iedere [sum_inf] cn+1 = c/(1-c) voor 0<c<1), en [sum_inf] 1/(n+1) bestaat niet.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#10


  • Gast

Geplaatst op 05 april 2005 - 21:54

Dus als ik het goed begrijp neem je 1 en 1/3 even appart, en zie je vervolgens dat (1/3)+(1/4)>2(1/4), en zo blijf je herhalen, (1/5)+(1/6)+(1/7)+(1/8)>4(1/8) etc., zodat je gieruit vast kunt stellen dat er steeds méér dan (1/2) bijkomt, als je maar genoeg termen bij elkaar neemt?

#11

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 april 2005 - 22:24

Je neemt de 1 apart, de 1/2, en dan 1/3+1/4, en dan 1/5 tot en met 1/8, en dan 1/9 tot en met 1/16, etc.

Dus steeds de (2k+1)-e tot en met de 2k+1-e term. Die sluiten allemaal netjes op elkaar aan, en er zijn natuurlijk oneindig veel van die stukken, en allemaal zijn ze ;) 1/2. Dus zolang je maar genoeg termen neemt (en dat doe je, want het is een oneindige som) komt er ook oneindig vaak minstens 1/2 bij.

Je kunt het ook omkeren, voor ieder getal k[element];) geldt dat 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/N :shock: k als N=22k.
Dus de som heeft geen bovengrens / divergeert / is oneindig.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#12


  • Gast

Geplaatst op 06 april 2005 - 15:18

Ja, dan snap ik hem. Bedankt!

#13

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24081 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 april 2005 - 17:32

Als je het integraalkenmerk voor positieve reeksen kent dan is de convergentie makkelijk te controleren.
De reeks convergeert als de oneingenlijke integraal INT(a -> inf) f(t) dt convergeert.
I.c. nemen we als functie f(t) = 1/t, dan vinden we:

INT(1 -> inf) dt/t = lim(x -> inf) lnx = inf => divergent.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Vacatures