Springen naar inhoud

Cyclische groepen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Jekke

    Jekke


  • >250 berichten
  • 997 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 mei 2008 - 10:25

in mijn cursus staat gedefinieerd: Het kleinste natuurlijke getal r, verschillend van 0, waarvoor g^r = e, met e het neutraal element noemt men de orde van het element g.

maar hoe zie ik dat dit kleinste natuurlijke getal r sowieso bestaat?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 28 mei 2008 - 12:17

Dat weet je omdat een cyclische groep eindig is en de groepsoperatie gesloten is (in de groep).

#3

Jekke

    Jekke


  • >250 berichten
  • 997 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 mei 2008 - 13:26

maar zou het dan niet kunnen dat g^r steeds een element is uit G\{e} voor alle r?

enkel de isomorfie met {1,2,...,r} toont voor mij aan dat g^r=e, directer zie ik het echt niet :D

#4

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 mei 2008 - 14:34

maar hoe zie ik dat dit kleinste natuurlijke getal r sowieso bestaat?

Dat hoeft ook niet. Indien er geen kleinste natuurlijke r bestaat waarvoor g^r=e, heeft g een oneindige orde.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#5

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 28 mei 2008 - 19:19

Alle cyclische groepen van oneindige orde zijn isomorf met (Z,+)
Een vb van een cyclische groep van oneindige orde is (Z,+) met (bv) 1 als voortbrenger van oneindige orde.

Ik nam aan dat je uitgaat van eindige cyclische groepen. (mijn fout!)

#6

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 mei 2008 - 19:43

Ik had niet gezien dat het specifiek over cyclische groepen ging (het staat alleen in de titel; de definitie in de openingspost is algemeen)).
Bij eindige cyclische groepen is er uiteraard altijd zo'n kleinste r waarvoor g^r=e.
Dat is logisch, want een cyclische groep wordt per definitie voortgebracht door ťťn element. De orde van dit element g is gelijk aan de orde van <g>.
Zie ook hier
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#7

Jekke

    Jekke


  • >250 berichten
  • 997 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 mei 2008 - 19:56

in die link die je daar geeft wordt gezegd:

if LaTeX is a group, then LaTeX

maar hoe toon je die gevolgtrekking aan?

#8

da_doc

    da_doc


  • >250 berichten
  • 308 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 mei 2008 - 08:27

Volgt uit vermenigvuldigingstabel.

g^6 = g^1.g^5 moet gelijk zijn aan een groepselement. Neem aan dat dat niet g^0=e is. Dus stel b.v. g^1.g^5=g^4=g^1.g^3, dan is g^5=g^3, wat dus niet kan. g^1.g^5=e kan wel, want dan is g^5=g^-1

#9

Jekke

    Jekke


  • >250 berichten
  • 997 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 mei 2008 - 14:40

oke bedankt





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures